\ANG{
Das Halbierungsspiel

Du startest mit einer Zahl. Ist sie gerade, so wird sie {\bf halbiert},
wenn nicht, wird eins dazu addiert. Mit der neuen Zahl machst du wieder das
gleiche, bis du bei der 1 ankommst.

Beispiel: 22 - 11 - 12 - 6 - 3 - 4 - 2 - 1

Hier waren 7 Schritte bis zur 1 n"otig.

\begin{enumerate}
\item F"uhre das Halbierungsspiel durch f"ur die Zahlen 9, 27, 31, 21, 1000.
Gib an, wie lange es jeweils dauert.
\item Ermittle, wie lange es dauert, wenn du bei 10000 (bei 776, 9999) startest.
\item Finde drei Zahlen, bei denen es 8 Schritte dauert bis die 1 am Ende
erreicht ist.
\item Zeichne aus der Tabelle ein Diagramm, das die Anzahl der Schritte beim
Halbierungsspiel f"ur verschiedene Startzahlen zeigt. Vervollst"andige zuerst die
Tabelle.

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Startzahl      &$9$&$10$&$11$&$12$&$13$&$14$&$15$&$16$&$17$&$18$\\ \hline
Anzahl Schritte& &  &6 &5 &6 &5 &5 &  &  &  \\ \hline
\end{tabular}
\item Suche Zahlen, bei denen das Halbierungsspiel schnell endet und solche,
bei denen es sehr lange dauert.
\item Kannst du diese Zahlen beschreiben?
\item Wie hei"st die Zahl unter 100, bei der das Halbierungsspiel am l"angsten
dauert?
\end{enumerate}



}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
$9$: $7$ Schritte:  $10$ - $5$ - $6$ - $3$ - $4$ - $2$ - $1$\\
$27$: $7$ Schritte: $28$ - $14$ - $7$ - $8$ - $4$ - $2$ - $1$\\
$31$: $6$ Schritte: $32$ - $16$ - $8$ - $4$ - $2$ - $1$\\
$21$: $8$ Schritte: $22$ - $11$ - $12$ - $6$ - $3$ - $4$ - $2$ - $1$\\
$1000$: $12$ Schritte: $500$ - $250$ - $125$ - $126$ - $63$ - $64$ - $32$ -
                       $16$ - $8$ - $4$ - $2$ - $1$

\item $10000$: $20$ Schritte, $776$: $15$ Schritte, $9999$: $21$ Schritte
\item Es gibt viele Zahlen, bei denen es genau $8$ Schritte dauert, z.\ B.\
$18$, $54$, $61$, $256$
\item \begin{tabular}[t]{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Startzahl      &$9$&$10$&$11$&$12$&$13$&$14$&$15$&$16$&$17$&$18$\\ \hline
Anzahl Schritte&$7$&$6$ &$6$ &$5$ &$6$ &$5$ &$5$ &$4$ &$9$ &$8$ \\ \hline
\end{tabular}
\item Das Halbierungsspiel endet schnell bei allen Zahlen, die man immer wieder
durch zwei teilen kann. Das sind die Zweierpotenzen wie $2^4$, $2^7$.
Das Halbierungsspiel dauert lange, bei den ungeraden Zahlen, die um eins gr"o"ser
sind als die Zweierpotenzen. Durch das Addieren entfernt man sich immer
wieder von einer Zweierpotenz.
\item vgl.\ (e)
\item Von den Zahlen unter $100$ erfordert die Zahl $65$ die meisten Schritte,
n"amlich $13$ Schritte. $65$ ist eins mehr als die Zweierpotenz $64$
und die n"achste Zweierpotenz ist schon gr"o"ser als $100$.
\end{enumerate}
}
\begin{tiny} Quelle: Theo Heu"ser, Gymnasium Hemsbach  \end{tiny}