\ANG{
{\bf Der kleine Gauss}

Ein Lehrer, der in Ruhe seine Zeitung lesen wollte, stellte den Sch"ulern die Aufgabe,
alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Nach einer Minute meldete sich der damals
siebenj"ahrige {\sc Carl Friedrich Gauss} (1777-1885) schon mit dem richtigen Ergebnis und "uberraschte
damit seinen Lehrer gr"undlich. Carl Friedrich, der sp"ater ein ber"uhmter Mathematiker
wurde, hat wie folgt gerechnet: 
\begin{align*}
&1+2+3+\ldots +98+99+100=\\
&=\underbrace{(1+100)}_{101}+\underbrace{(2+99)}_{101}+\underbrace{(3+98)}_{101}+\ldots 
+\underbrace{(50+51)}_{101}=\\
&=50\cdot 101=\underline{\underline{5050}}
\end{align*}
Dieses Ergebnis erh"alt man auch mit folgender Rechnung:
\[100\cdot(100+1):2=10100:2=5050\]
\begin{enumerate}
\item Berechne wie der kleine Gauss die Summe aller nat"urlichen Zahlen von 1 bis
  40. "Uberpr"ufe, ob folgende Rechnung das gleiche Ergebnis liefert: 
  \[40\cdot(40+1):2\]
\item Versuche nach der Methode von Gauss die Summe aller Zahlen von 1 bis 11 zu
  berechnen. Wenn es nicht funktioniert, rechne wie bisher gewohnt. "Uberpr"ufe das
  Ergebnis mit folgender Rechnung:
  \[11\cdot(11+1):2\]
\item Die bisherigen Ergebnisse lassen vermuten, dass folgende Regel richtig ist, wobei
  $n$ irgend eine nat"urliche Zahl ist:
  \[\boxed{\text{Die Summe aller nat"urlichen Zahlen von 1 bis }n=n\cdot (n+1):2}\]
  "Uberpr"ufe die Regel durch direktes Nachrechnen f"ur $n=5$, $n=9$ und $n=20$.
\item Man kann exakt beweisen, dass die Regel der vorhergehenden Teilaufgabe f"ur alle
  nat"urlichen Zahlen $n$ richtig ist. Berechne damit die Summe aller nat"urlichen Zahlen
  von 1 bis zu einer Million.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 820
\item $(1+11)+(2+10)+(3+9)+(4+8)+(5+7)+6=5\cdot 12+6=66$ 
\item 15,\quad 45,\quad 210
\item $1\,000\,000\cdot 1\,000\,001:2=500\,000\cdot 1\,000\,001=500\,000\,500\,000$
\end{enumerate}
}
