
%
\ANG
{\mbox{}
      \begin{center}
      \includegraphics{05eh040_aah.1}
      \end{center}
\begin{enumerate}
\item Zeichne in die Mitte einer leeren karierten Heftseite ein Quadrat $ABCD$ mit der Seitenl"ange    
      $3\,\mathrm{cm}$, so dass die Seite $\overline{\mathrm{AB}}$ waagrecht liegt. Zeichne die beiden Geraden ein, die 
      jeweils durch zwei gegen"uber liegende Eckpunkte des Quadrates und dem Quadratmittelpunkt $M$
      verlaufen. Nutze dabei den Platz auf deiner Heftseite voll aus.
\item Zeichne durch die Eckpunkte des Quadrates jeweils eine Parallele zu einer Diagonalen.
\item Die vier Parallelen schneiden sich in vier Punkten. Dadurch entsteht ein neues Viereck
      $V_1$. Um was f"ur ein Viereck handelt es sich? Begr"unde.
\item \begin{itemize}
      \item Zeichne durch die Eckpunkte dieses Vierecks $V_1$ erneut Parallelen zu dessen
            Diagonalen, so dass an deren Schnittpunkten ein neues Viereck $V_2$ entsteht.
	    Wenn du richtig gezeichnet hast, m"ussen jetzt zwei Seiten dieses Vierecks $V_2$
	    wieder waagrecht liegen.\\
            Um was f"ur ein Viereck handelt es sich?
      \item Wie oft ist das urspr"ungliche Quadrat $ABCD$ im Viereck $V_2$ enthalten? Begr"unde.
      \end{itemize}
\item 
      \begin{itemize}
      \item Zeichne auf die gleiche Weise wie vorhin mit Hilfe der Parallelen zu den Diagonalen
            des Vierecks $V_2$ das Viereck $V_3$. Um welche Art von Viereck handelt es sich
	    wieder?
      \item Wie oft ist das urspr"ungliche Quadrat $ABCD$ im Viereck $V_3$ enthalten? Begr"unde.
      \end{itemize}
\item \begin{itemize}
      \item Zeichne mit der gleichen Vorgehensweise das Viereck $V_4$ ein, wobei dann zwei Seiten
            wieder waagrecht liegen m"ussen.
      \item Vergleiche die Seitenl"ange des urspr"unglichen Quadrates $ABCD$ mit der Seitenl"ange des
            Vierecks $V_4$.\\
            Wie oft ist das urspr"ungliche Quadrat im Viereck $V_4$ enthalten? Begr"unde.   
      \end{itemize}

\end{enumerate}
}

\LSG{
      Wenn du alle Zeichenauftr"age ausgef"uhrt hast, ergibt sich das folgende Bild:
      \begin{center}
      \includegraphics{05eh040ah}
      \end{center}
\begin{enumerate}
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Siehe Zeichnung.
      \item Siehe Zeichnung.\\
            Das Viereck $A_1B_1C_1D_1$ ist ein Quadrat. Alle vier Seiten sind gleich alng und alle
            Innenwinkel haben das Ma"s $90^\circ$.
      \item 
      \begin{itemize}
	\item Siehe Zeichnung.\\
	      Das Viereck $A_2B_2C_2D_2$ ist wieder ein Quadrat.
        \item Das urspr"ungliche Quadrat $ABCD$ wird durch seine Diagonalen in vier deckungsgleiche
	      Dreiecke zerlegt. Das Quadrat $A_2B_2C_2D_2$ besteht aus 16 dieser Dreiecke. $16:4=4$;
	      also ist dieses Quadrat vier mal so gro"s wie das Quadrat $ABCD$.
        \end{itemize}
     \item 
              \begin{itemize}
	      \item Siehe Zeichnung.\\
	            Das Viereck $A_3B_3C_3D_3$ ist wieder ein Quadrat.
              \item Wenn Du die vier Teildreiecke $A_2MD_2$, $A_2B_2M$, $MB_2C_2$ und $D_2MC_2$ 
	            des Quadrates $A_2B_2C_2D_2$ jeweils nach au"sen klappst, dann erh"altst du das
		    Quadrat $A_3B_3C_3D_3$. Also ist dieses Quadrat doppelt so gro"s wie das Quadrat
		    $A_2B_2C_2D_2$ und damit $2\cdot 4=8$ mal so gro"s wie das Quadrat $ABCD$.
              \end{itemize}
     \item 
             \begin{itemize}
              \item Siehe Zeichnung.
	      \item Das Quadrat $A_4B_4C_4D_4$ entsteht ebenso wie vorhin durch Ausklappen der
	            Teildreiecke des Quadrates $A_3B_3C_3D_3$. Also ist das Quadrat $A_4B_4C_4D_4$
		    doppelt so gro"s wie sein Vorg"anger und damit 16 mal so gro"s wie das
		    urspr"ungliche Quadrat $ABCD$.
             \end{itemize}
     \item 
             \begin{itemize}
              \item Der Nachfolger ist doppelt so gro"s wie sein Vorg"anger.
	      \item Vorletzte Zeile:\\
	            $A_{V_7} = 2\cdot A_{V_6}=2\,^6\cdot A_0=64\cdot 9\,\mathrm{cm^2}=576\,
		    \mathrm{cm^2}$\\
		    Letzte Zeile:\\
		    $2304\,\mathrm{cm^2}:9\,\mathrm{cm^2}=256=2\,^8\quad$. Also gilt:
		    $\,\mathrm{?}=8$.
     \item 1. M"oglicheit:\\
           624 ist nicht durch 9 teilbar, daher gibt es kein solches Quandrat.\\
	   2. M"oglichkeit:\\
	   Es tauchen nur die folgenden Fl"acheninhalte auf: $9\,\mathrm{cm^2}$, $18\,\mathrm{cm^2}$,
	   $36\,\mathrm{cm^2}$, $72\,\mathrm{cm^2}$, $144\,\mathrm{cm^2}$, $288\,\mathrm{cm^2}$,
	   $576\,\mathrm{cm^2}$, $1152\,\mathrm{cm^2}\,\ldots\quad$\\
	   Der Wert $624\,\mathrm{cm^2}$ ist nicht mit dabei, daher gibt es kein solches Quandrat.
             \end{itemize}
    \item Deinem Einfallsreichtum sind keine Grenzen gesetzt.
\end{enumerate}
}

