\ANG{
{\bf Primzahlzwillinge und Primzahldrillinge}

\begin{enumerate}
\item Ein Primzahlzwilling besteht aus zwei Primzahlen, deren Differenz
zwei ist z.\ B.\ (5{,}7). Gib alle Primzahlzwillinge zwischen 1 und 100 an.
\item Primzahldrillinge werden entsprechend den Primzahlzwillingen festgelegt,
z.\ B.\ (3{,}5,7). Gib alle Primzahldrillinge zwischen 0 und 100 an.
\item Schreibe drei nat"urliche Zahlen auf, von denen die zweite um 2 und die
dritte um 4 gr"o"ser ist als die erste, z.\ B.\ (13{,}15{,}17).
\begin{enumerate}
\item Dividiere jede der drei aufgeschriebenen Zahlen durch 3 und notiere die
Reste.
\item W"ahle entsprechend (c) noch weitere Beispiele dreier Zahlen und schreibe
bei jedem Beispiel die Reste bei Division durch 3 auf.
\item Welche Aussage kann man in allen Beispielen "uber die auftretenden Reste
machen?\\ Begr"unde: Wenn von drei nat"urlichen Zahlen die zweite um 2 und die
dritte um 4 gr"o"ser ist als die erste, dann ist eine der Zahlen durch 3 teilbar.
\end{enumerate}
\item Wie viele Primzahldrillinge gibt es also?
\end{enumerate}

\begin{tiny}
Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001
\end{tiny}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $(3{,}5)$, $(5{,}7)$, $(11{,}13)$, $(17{,}19)$, $(29{,}31)$, $(41{,}43)$, $(71{,}73)$
\item $(3{,}5,7)$
\item 
\begin{enumerate}
\item Z.\ B.\ $(20{,}22{,}24)$ liefert die Reste $(2{,}1,0)$
\item Z.\ B.\ $(19{,}21{,}22)$ liefert die Reste $(1{,}0,2)$
\item Es bleiben immer je einmal die Reste $0$, $1$ und $2$.\\
Von drei Zahlen, die entsprechend (c) ausgew"ahlt wurden, ist eine durch drei
teilbar.\\
1.\ Fall: Erste Zahl durch drei teilbar, qed\\
2.\ Fall: Erste Zahl l"asst bei Division durch $3$ den Rest $1$
$\Rightarrow$ die zweite Zahl l"asst bei Division durch $3$ den Rest $0$,
qed\\
3.\ Fall: Erste Zahl l"asst bei Division durch $3$ den Rest $2$
$\Rightarrow$ die zweite Zahl l"asst bei Division durch $3$ den Rest $1$
$\Rightarrow$ die dritte Zahl l"asst bei Division durch $3$ den Rest $0$,
qed\\
\end{enumerate}
\item Es gibt nur eine Gruppe von Primzahldrillingen, n"amlich $(3{,}5,7)$.
\end{enumerate}
}
