\ANG{
Ein Ausrufezeichen hinter einer nat"urlichen Zahl bedeutet
\GF{Fakult"at}. $7!$ liest man z.B. als \GF{sieben Fakult"at}. $n!$ ist eine
Kurzschreibweise f"ur das Produkt aller nat"urlichen Zahlen, die kleiner oder
gleich $n$ sind. 

Beispiele:\quad\parbox[t]{10cm}{
$1!=1$

$2!=1\cdot 2=2$

$3!=1\cdot 2\cdot 3=6$

$6!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$
}
\begin{enumerate}
\item Berechne $n!$ f"ur alle $n\leqq 10$.
\item Es gilt $20!=2\,432\,902\,008\,176\,640\,000$. Berechne $21!$.

Wie hei"st das Ergebnis in Worten?
\item Wie oft enth"alt $30!$ den Primfaktor 3?
\item Wie oft hintereinander kann man $50!$ ohne Rest durch zwei teilen?
\item Die Zahl $1000!$ hat am Ende viele Nullen; wie viele sind es? 
  
  Hinweis: Primfaktoren!
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $1!=1$, $2!=2$, $3!=6$, $4!=24$, $5!=120$, $6!=720$, $7!=5040$,

  $8!=40320$, $9!=362880$, $10!=3628800$
\item $21!=20!\cdot 21=2\,432\,902\,008\,176\,640\,000\cdot 21=
  51\,090\,942\,171\,709\,440\,000=$

  51\,Trillionen 90\,Billiarden 942\,Billionen 171\,Milliarden 709\,Millionen

  440\,Tausend 
\item $30!$ enh"alt 10 Faktoren, die ein Vielfaches von 3 sind, 3 Faktoren,
  die ein Vielfaches von $3^{2}=9$ sind und einen Faktor, der ein Vielfaches
  von $3^{3}=27$ ist. Insgesamt enth"alt $30!$ also $10+3+1=14$ mal den Faktor 3.
\item $50!$ enh"alt 25 gerade Faktoren, 12 Faktoren aus V$_{4}$, 6 Faktoren
  aus V$_{8}$, 3 Faktoren aus V$_{16}$ und 1 Faktor aus V$_{32}$. 
   Insgesamt enth"alt $50!$ also $25+12+6+3+1=47$ mal den Faktor 2. 
\item $1000!$ enth"alt sicher mehr Faktoren 2 als 5. Jedes Paar aus den
  Faktoren 2 und 5 ergibt eine Schlussnull. Die Zahl der Schlussnullen ist
  also gleich der Zahl aller Primfaktoren 5. Die Zahlen von 1 bis 1000
  enthalten $1000:5=200$ Vielfache von 5. $200:5=40$ dieser Zahlen sind
  Vielfache von 25 und enthalten einen weiteren Faktor 5. $40:5=8$ der
  Vielfachen von 25 sind sogar Vielfache von 125 und tragen noch einen Faktor
  5 bei. Als letztes liefert die Zahl $625=5^{4}$ noch einen Faktor
  5. Insgesamt hat man also $200+40+8+1=249$ Faktoren 5 und genauso viele
  Schlussnullen. Nur zur Information: 1000! hat 2568 Stellen.
\end{enumerate}
}
