\ANG{
Die Freundinnen Anna, Kathrin, Johanna und Vreni gehen zum Fotografen. Jede
hat drei H"ute und zwei Sonnenbrillen dabei. 
\begin{enumerate}
\item  Der Fotograf stellt die vier M"adchen nebeneinander auf, jede der
  jungen Damen setzt dabei einen ihrer H"ute und eine ihrer Brillen auf. Wie
  viele verschiedenartige Bilder der Freundinnen k"onnten aufgenommen werden?
\item Auf dem Heimweg f"uhren die M"adchen folgendes Gespr"ach:

Anna: \GF{Wenn wir nicht nur unsere eigenen H"ute und Brillen aufgesetzt
  h"atten sondern auch getauscht h"atten, wie viele verschiedene Aufnahmen
  h"atten wir dann wohl machen k"onnen?}

Katrin: \GF{Zuerst m"ussen wir uns "uberlegen, auf wie viele Arten wir die
  zw"olf H"ute aufsetzen k"onnen.}

Johanna: \GF{Ich nehme mir als Erste einen Hut und habe somit zw"olf M"oglichkeiten.}

Vreni: \GF{Dann nehme ich als n"achste einen Hut und habe damit noch elf zur
  Auswahl. Ha, jetzt wei"s ich, wie ich weiterrechnen muss. Und mit den
  Brillen gehts genauso. Ui, das gibt eine riesige Zahl von M"oglichkeiten.}

Anna: \GF{Wie lange w"urden wir wohl brauchen, all diese Fotos zu machen?}
\item Berechne $12!=12\cdot 11\cdot 10\cdot ... \cdot3\cdot 2\cdot 1$ und
  vergleiche mit dem Ergebnis von Teilaufgabe (b). Ist das Zufall oder steckt
  ein Gesetz dahinter?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Jedes M"adchen hat $3\cdot 2=6$ verschiedene Outfits. 
Zu jeder Sitzordnung gibt es $6^{4}=1296$ verschiedene Outfits. Da es
$4!=24$ verschiedene Sitzordungen gibt, ist die Geamtzahl der m"oglichen
Aufnahmen $1296\cdot 24=31\,104$.
\item Es gibt $12\cdot 11\cdot 10\cdot 9=11\,880$ verschieden Anordnungen der
  H"ute auf den K"opfen der M"adchen.

Es gibt $8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=1680$ verschieden M"oglichkeiten, die acht
  Brillen aufzusetzen.

Damit gibt es $11\,880\cdot 1680=19\,958\,400$ verschiedene Outfits, die Zahl
der verschiedene Aufnahmem"oglichkeiten ist also
\[\underbrace{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}_{\text{H"ute}}
\cdot\underbrace{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}_{\text{Brillen}}
\cdot\underbrace{4!}_{\text{Anordnungen}}\]
$19\,958\,400\cdot 24=479\,001\,600$.

Zur Absch"atzung der Zeit nehmen wir Folgendes an: In 10\,s schaffen sie eine
Aufnahme und am Tag wird 10\,h lang fotografiert. Damit schaffen sie pro Tag
3600 Aufnahmen und sie brauchen $479\,001\,600:3600=133\,056$ Tage oder
ungef"ahr 365 Jahre.
\item Die Gleichheit der Ergebnisse ist Zufall und gilt nur bei 2 Brillen und 3
  H"uten (oder 3 Brillen und 2 H"uten) pro M"adchen, die Zahl der M"adchen ist
  aber beliebig. Z.B. gibt es mit 7 M"adchen 21 H"ute und 14 Brillen:
  \[\underbrace{21\cdot 20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}_
  {\text{H"ute}}\cdot\underbrace{14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot
  9\cdot 8}_{\text{Brillen}}
  \cdot\underbrace{7!}_{\text{Anordnungen}}=21!\]
  Bei 5 H"uten und 2 Brillen pro M"adchen und 4 jungen Damen ist die
  Gesamtzahl der Fotos (20 H"ute, 8 Brillen):
  \[\underbrace{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}_
  {\text{H"ute}}\cdot\underbrace{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}_{\text{Brillen}}
  \cdot\underbrace{4!}_{\text{Anordnungen}}\neq 20!\]  
\end{enumerate}

}
