\ANG{
\textbf{Br"uche kombinieren}
\begin{enumerate}
\item Es sind die Zahlen 1, 2 und 3 gegeben. Bilde damit alle m"oglichen Br"uche aus jeweils zwei dieser Zahlen und sortiere sie der Gr"o"se nach.
(Mehrfachverwendung erlaubt!)
\item Ermittle: Wie viele M"oglichkeiten gibt es, wenn du die Zahlen 1, 2, 3, 5, 7 verwendest? Wie viele dieser Br"uche sind kleiner als 1?
\item Betimme: Wie viele M"oglichkeiten gibt es, wenn du die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n verwendest?
\end{enumerate}
}

\LSG{\begin{enumerate}
\item Jede Zahl kann im Z"ahler und im Nenner vorkommen, also\\

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
&$1$&$2$&$3$\\ \hline
$1$&$\frac11$&$\frac21$&$\frac31$\\ \hline
$2$&$\frac12$&$\frac22$&$\frac32$\\ \hline
$3$&$\frac13$&$\frac23$&$\frac33$\\ \hline
\end{tabular} \ \ \ $\frac 13<\frac 12<\frac 23<\frac 11=\frac 22=\frac 33<\frac 32<\frac 21<\frac 31$

\item $5^2=25$ M"oglichkeiten, davon $1+2+3+4=10$ Br"uche kleiner als 1. Diese stehen in der Tabelle unterhalb der fallenden Diagonale.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
&$1$&$2$&$3$&$5$&$7$\\ \hline
$1$&$\frac11$&$\frac21$&$\frac31$&$\frac51$&$\frac71$\\ \hline
$2$&$\frac12$&$\frac22$&$\frac32$&$\frac52$&$\frac72$\\ \hline
$3$&$\frac13$&$\frac23$&$\frac33$&$\frac53$&$\frac73$\\ \hline
$5$&$\frac15$&$\frac25$&$\frac35$&$\frac55$&$\frac75$\\ \hline
$7$&$\frac17$&$\frac27$&$\frac37$&$\frac57$&$\frac77$\\ \hline
\end{tabular}\\

\item $n^2$ M"oglichkeiten, davon $1+2+3+\cdots + (n-1)=\frac 12 n(n-1)$ Br"uche kleiner als 1
\end{enumerate}

Ausgehend von diesen Betrachtungen kann man weitere Fragen diskutieren, z.\ B.\ wie viele verschiedene Br"uche gibt es? Literatur: 

http://www.sinus-bayern.de/userfiles/Broschuere$\underline{\ }$2007/K5/Differenzierender$\underline{\ }$Auftrag.pdf}

\begin{tiny}   Quelle: Christoph Hammer (Didaktik der Mathematik, LMU M"unchen)     \end{tiny}