\ANG{
\begin{enumerate}
\item Berechne folgende Summen: 
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4},
\qquad\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}, 
\qquad\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}, 
\qquad\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}
\]
\item Berechne auch die n"achsten beiden Summen in dieser Reihe. 
Um welchen Wert weichen die Ergebnisse von 1 ab?
Was f"allt dir dabei auf?
\item Schreibe die Angabe und das Ergebnis der letzten Rechnung mit Hilfe von
  Potenzen zur Basis 2. 
\item Fasse die bisherigen Ergebnisse in einer einfachen Regel
  zusammen. Berechne damit folgende Summe:
\[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\,...\,
  +\frac{1}{1024}\]
\end{enumerate}
}
\LSG{
  \begin{enumerate}
  \item $\D\frac{3}{4},\quad\frac{7}{8}\,\quad
  \frac{15}{16},\quad\frac{31}{32}$
\item $\D\frac{63}{64},\quad\frac{127}{128}$\\

Die Abweichung von 1 ist gleich dem letzten Summanden. 
\item $\D\frac{1}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{2^{4}}
   +\frac{1}{2^{5}}+\frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{7}}=\frac{2^{7}-1}{2^{7}}=
   1-\frac{1}{2^{7}}$
\item Regel:\quad $\D\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\,...\,
  +\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$\\ 

$\D\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\,...\,
  +\frac{1}{2^{10}}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}$
\end{enumerate}
}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 