\ANG{
\begin{enumerate}
\item Berechne folgende Summen: 
\[\frac{1}{4}+\frac{1}{16},
\qquad\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}, 
\qquad\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}
\]
\item Berechne auch die n"achsten beiden Summen in dieser Reihe. 
\item Schreibe die Angabe und das Ergebnis der letzten Rechnung mit Hilfe von
  Potenzen zur Basis 4. 
\item Es ist nicht leicht, eine einfache Regel zur Berechnung der bisherigen
  Summen zu finden, aber du kannst es schaffen. Ein kleiner Hinweis:
  Multipliziere alle bisherigen Ergebnisse mit 3. 
\item Berechne nun den Wert der folgenden Summe:
\[\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\,...\,
  +\frac{1}{65536}\]
\end{enumerate}
}
\LSG{
  \begin{enumerate}
  \item $\D\frac{5}{16},\quad\frac{21}{64}\,\quad
  \frac{85}{256}$
\item $\D\frac{341}{1024},\quad\frac{1365}{4096}$\\ 
\item $\D\frac{1}{4^{1}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+\frac{1}{4^{4}}
   +\frac{1}{4^{5}}+\frac{1}{4^{6}}=\frac{1365}{4^{6}}$
 \item Die mit 3 multiplizierten Ergebnisse: 
$\D\frac{15}{16},\quad\frac{63}{64}\,\quad
  \frac{255}{256}\,\quad\frac{1023}{1024},\quad\frac{4095}{4096}$\\

Regel:\quad $\D\frac{1}{4^{1}}+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{4^{3}}+\frac{1}{4^{4}}
   +\, ...\,+\frac{1}{4^{n}}=\frac{4^{n}-1}{3\cdot 4^{n}}$
\item $\D\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+\frac{1}{256}+\,...\,
  +\frac{1}{65536}=\frac{65535}{3\cdot 65536}=\frac{21845}{65536}$
\end{enumerate}
}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 