\ANG{
Die Summe zweier nat"urlicher Zahlen ist 195. Um welche Zahlen handelt es sich,
\begin{enumerate}
\item wenn die eine viermal so gro"s ist wie die andere?
\item wenn die eine 12-mal so gro"s ist wie die andere?
\item wenn die eine $n$-mal, $n\in\NN$, so gro"s ist wie die andere?
      F"ur welche $n$ ist die Aufgabe "uberhaupt l"osbar?
\item Welches Problem k"onnte in der Realit"at die Beschr"ankung der Grundmenge
      auf die Menge der nat"urlichen Zahlen notwendig machen?
\item Anstelle der Zahl 195 w"ahlt man eine andere dreistellige Zahl als
      Summe, um zu erreichen, dass die Aufgabe f"ur mehr Werte von $n$ l"osbar ist.
      Nenne einige geeignete Zahlen. Erkl"are, wie man solche Zahlen findet.
\item Suche eine dreistellige Zahl, die an der Stelle von 195 f"ur m"oglichst
      wenige Werte von $n$ zu L"osungen f"uhrt und gib die Anzahl der m"oglichen $n$ an.
\end{enumerate}

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $39$ und $156$
\item $15$ und $180$
\item $x+y=195$ und $x=ny \Rightarrow$ $y=\frac{195}{n+1}$ $\Rightarrow$
      l"osbar f"ur $n=2, 4, 12, 14, 38, 64, 194$\\

      \begin{tabular}{lll}
      $n=2 \Rightarrow 65$ und $130$, &$n=4 \Rightarrow 39$ und $156$, &
      $n=12 \Rightarrow 15$ und $180$,\\
      $n=14 \Rightarrow 13$ und $182$, &$n=38 \Rightarrow 5$ und $190$, &
      $n=64 \Rightarrow 3$ und $192$,\\
      $n=194 \Rightarrow 194$ und $1$&&\\
      \end{tabular}

\item Problemstellungen, die sich um die Verteilung bestimmter unteilbarer
      G"uter drehen, k"onnen eine Beschr"ankung der Grundmenge notwendig machen.
\item ,,Besser'' als $195$ w"aren beispielsweise die Zahlen $360$ und $720$
      geeignet, da ihre Primzahlzerlegung deutlich mehr L"osungskombinationen
      zul"asst.
\item Primzahlen lassen nur eine L"osungskombination zu.
\end{enumerate}
}
