\ANG{
{\bf Zerlegung eines Rechtecks in Dreiecke}

Im Inneren eines Rechtecks sind Punkte gegeben. Sie hei"sen \GF{verstreut}, wenn
je drei Punkte, einschlie"slich der Eckpunkte des Rechtecks, nicht auf einer
Geraden liegen. Das Rechteck wird in Dreiecke zerlegt, deren Eckpunkte nur die
gegebenen \GF{verstreuten} Punkte oder Eckpunkte des Rechtecks sind.

\begin{enumerate}
\item Zeichne ein Rechteck mit vier \GF{verstreuten} Punkten. Trage zwei
verschiedene Zerlegungen des Rechtecks in Dreiecke ein. Bestimme jeweils die
Anzahl der entstandenen Dreiecke.\\
W"ahle in einer neuen Zeichnung andere Positionen f"ur die vier ,,verstreuten''
Punkte und bestimme erneut die Anzahl der Dreiecke bei zwei verschiedenen
Zerlegungen.
\item Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren kein,
ein, zwei oder drei \GF{verstreute} Punkte liegen?
\item Wie viele Dreiecke entstehen bei einer Zerlegung, wenn im Inneren 20
\GF{verstreute} Punkte liegen?
\item Gib einen Term an, mit dem du die Anzahl der Dreiecke bestimmen kannst,
wenn k die Anzahl der \GF{verstreuten} Punkte angibt.
\item Die Anzahl der Dreiecke bei einer Zerlegung kann auch mit einer anderen
"Uberlegung gewonnen werden: Jeder Punkt im Inneren ist Eckpunkt mehrerer
Dreiecke und jeder Eckpunkt des Rechtecks ist Eckpunkt von mindestens einem
Dreieck. Addiere die Innenwinkel aller Dreiecke, indem du die Winkel an den
inneren Punkten und an den Eckpunkten addierst. Berechne dann die Anzahl der
Dreiecke.
\end{enumerate}

Quelle: Neue Schwerpunktsetzung in der Aufgabenkultur, ISB 2001
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item Es entstehen jeweils $10$ Dreiecke.
\item Es entstehen $2$, $4$, $6$ und $8$ Dreiecke.
\item Es entstehen jeweils $42$ Dreiecke.
\item $2k+2$
\item $(k\cdot 360^{\circ}+4\cdot 90^{\circ}):180^{\circ}=2k+2$
\end{enumerate}
}
