\ANG{
{\bfseries Das Steuermodell von Kirchhoff (2005)}\\[2mm]
Vom gesamten Jahreseinkommen einer Familie werden pro Person 8000\,\EUR{} 
Freibetrag abgezogen, vom Rest sind 25$\%$ Steuern zu zahlen.

Der effektive Steuersatz gibt an, wieviel Prozent des Einkommens die
Steuern ausmachen. Gesucht ist ein Term $e(x,n)$, der den effektiven Steuersatz aus dem
Monatseinkommen $x$ und der Zahl $n$ der Personen in der Familie berechnet.

Berechne den effektiven Steuersatz f"ur die Monatseinkommen 1000\,\EUR, 
2000\,\EUR, 4000\,\EUR, 6000\,\EUR, 8000\,\EUR{} und 10\,000\,\EUR jeweils f"ur
eine, zwei, drei und vier Personen in der Familie. Stelle die Ergebnisse
"ubersichtlich in einer Tabelle dar und veranschauliche sie in einer Grafik.
}
%
\LSG{
Das Jahreseinkommen ist $12x$, die zu zahlenden Steuern pro Jahr sind 
\[s = 25\%\cdot(12x-n\cdot 8000)\]
\[ e = \frac{s}{12x}=25\%\cdot\frac{12x-8000n}{12x}=25\%\cdot\left(1-\frac{2000n}{3x}\right)
\]
Diese Formel gilt nur, wenn $12x>8000n$ ist, f"ur $12x\leqq 8000n$ zahlt man keine Steuern:
\[\boxed{e(x,n)=\begin{cases}
25\%\cdot\left(1-\frac{2000n}{3x}\right)&\text{f"ur $x>\frac{2000n}{3}$}\\
0&\text{f"ur $x\leqq\frac{2000n}{3}$}
\end{cases}}
\]
Die folgende Wertetabelle gibt den effektiven Steuersatz in Prozent an:
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c}
  $x$  & 1000 & 2000 & 4000 & 6000 & 8000 & 10000 \\\hline
  $n=1$ & 8,3 & 16,7 & 20,8 & 22,2 & 22,9 & 23,3 \\
  $n=2$ &   0 &  8,3 & 16,7 & 19,4 & 20,8 & 21,7 \\
  $n=3$ &   0 &    0 & 12,5 & 16,7 & 18,8 & 20,0 \\
  $n=4$ &   0 &    0 &  8,3 & 13,9 & 16,7 & 18,3 
\end{tabular}
\end{center}
\EPSC{07rr0281}{12cm}{}{}

}
