\ANG{Zocker-Tom besucht ein Spielcasino. Er setzt bei jedem Spiel
den gleichen Anteil des Geldes, das er im Moment hat. Gewinnt er,
dann erh"alt er seinen Einsatz zur"uck und zus"atzlich den
gleichen Betrag noch einmal. Verliert er, so hat er seinen Einsatz
verspielt.\\
Als Zocker-Tom wieder aus dem Spielcasino kommt, hat er gleich
viele Spiele gewonnen wie verloren. "Uber die Reihenfolge von
Gewinn und Verlust ist nichts bekannt. Hat er insgesamt Gewinn
oder Verlust gemacht?
}

\LSG{$G$: Betrag, den er zu Beginn hat,\\
$g$: Betrag, den er im Moment hat,\\
$a$ Anteil, den er jeweils einsetzt,\\
$a\cdot g$: Einsatz beim Spiel,\\
Gewinnt er, hat er nach dem Spiel $(1+a)g$, erliert er hat er
$(1+a)g$. D.\ g.\ bei Gewinn wird der Betrag mit $(1+a)$
multipliziert, beim Verlieren mit $(1-a)$. Wegen dem
Kommutativgesetz ist die Reihenfolge der Faktoren unerheblich
$\Rightarrow$

Betrag nach $n$-mal Gewinn und $n$-mal Verlust:

$G\cdot (1+a)^n\cdot (1-a)^n=G\cdot (1-a^2)^n$

Da $(1-a^2)^n<1$ ist, hat er insgesamt Verlust gemacht! 

\begin{tiny}
Quelle: 9. Landeswettbewerb Mathematik, 2006
end{tiny}
}
