
\ANG{ 

\textbf{Symmetrieachse konstruieren und Konstrution begründen}

\EPSR{8cm}{07gw21ah005}{8cm}{}{}{ 

Gegeben sind die beiden in der Abbildung dargestellten Punkte P und
$\mathrm{P}^{*}$. Ferner zeigt die Abbildung, wie mit Zirkel und
Lineal die Symmetrieachse a zu P und $\mathrm{P}^{*}$ konstruiert
werden kann.}
\begin{enumerate}
\item Beschreibe die einzelnen Konstruktionsschritte in Worten.
\item Eine wichtige Eigenschaft symmetrischer Figuren beschreibt der sogenannte
Satz von den Achsenpunkten: \\
Die Punkte der Symmetrieachse - und nur diese - sind von zueinander
symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. \\
Begründe mithilfe dieses Satzes und anhand der Abbildung, dass die
so konstruierten Punkte $\mathrm{A}_{1}$ und $\mathrm{A}_{2}$ auf
der Symmetrieachse liegen müssen und damit die Gerade durch diese
beiden Punkte tatsächlich die gesuchte Symmetrieachse zu P und $\mathrm{P}^{*}$
ist. 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Zeichne Kreise um P und $\mathrm{P}^{*}$ mit gleichem, genügend großen
Radius r, so dass sich die Kreise in zwei Punkten $\mathrm{A}_{1}$
und $\mathrm{A}_{2}$ schneiden. Die Gerade a durch die Punkte $\mathrm{A}_{1}$
und $\mathrm{A}_{2}$ ist die Symmetrieachse zu P und $\mathrm{P}^{*}$
. 
\item Punkt $\mathrm{A}_{1}$ liegt auf zwei Kreisen um P und $\mathrm{P}^{*}$
mit gleich großen Radien und ist somit von P und P{*} gleich weit
entfernt. Das Gleiche gilt für den Punkt $\mathrm{A}_{2}$ . Nach
dem Satz über die Achsenpunkte liegen sowohl $\mathrm{A}_{1}$ als
auch $\mathrm{A}_{2}$ auf der Symmetrieachse zu P und P{*}. Da zwei
Punkte eine Gerade festlegen, ist damit die Gerade $\mathrm{A_{1}A_{2}}$
die gesuchte Symmetrieachse. 
\end{enumerate}
}

