\ANG{
{\bf Landvermessung}

\GF{In diesem Bild stimmt kein Ma"s. Wie soll ich da die Grundst"uckssteuer
f"ur Bauer Heins f"unfeckigen Acker festlegen?} fragt der Finanzbeamte.

\GF{L"angentreu zu zeichnen, war noch nie meine St"arke, daf"ur ist alles, was
wie ein rechter Winkel aussieht, in Wirklichkeit auch einer}, erkl"art
Messgehilfe Schluri \GF{und schlie"slich hat mir Hein versichert, dass er f"ur
das Dreieck $ABG$ immer 100 \EUR{} bezahlt. F"ur das Rechteck $BCDG$ muss er 200
\EUR{} und f"ur das Dreieck $DEH$ 300 \EUR{} bezahlen.}

Die Steuer ist der Fl"ache proportional. Wieviel muss Hein bezahlen?

\EPSC{08cm003_1}{9cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{E}{E} 
\PSFM{F}{F} \PSFM{G}{G} \PSFM{H}{H} 
}


}
\LSG{\hspace*{1cm}
\EPS{08cm003_2}{9cm}{}{
\PSFM{A}{A} \PSFM{B}{B} \PSFM{C}{C} \PSFM{D}{D} \PSFM{E}{E} 
\PSFM{F}{F} \PSFM{G}{G} \PSFM{H}{H} \PSFM{a}{$a$} \PSFM{b}{$b$} 
\PSFM{c}{$c$} \PSFM{d}{$d$} \PSFM{g}{$g$} \PSFM{h}{$$} \PSFM{y1}{$y_{1}$} 
\PSFM{y2}{$y_{2}$} \PSFM{A1}{$A_{1}=100$} \PSFM{A2}{$A_{2}=200$} 
\PSFM{A3}{$A_{3}=300$}   
}

Der Fl"acheninhalt f"ur $A_1$ und $A_2$ berechnet sich nach:
\[
  A_1 = \frac{1}{2} \cdot c \cdot g; \qquad A_2= c \cdot b
\] 
Mit $A_2 = 2 \cdot A_1$ folgt:
\[
   c \cdot b = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot c \cdot g \quad \DANN \quad b=g  
\] 
Geradengleichung f"ur $y_1$ und $y_2$
\[
  y_1 = \frac{d}{b} \cdot x \qquad y_2 = -\frac{d}{2 b} \cdot x + d
\] 
Die Schnittpunktkoordinaten f"ur den Punkt $H$ ergeben sich aus:
\[
  y_1 = y_2, \qquad \frac{d}{b} \cdot x = -\frac{d}{2 b} \cdot x + d \quad \DANN 
  \quad x = h = \frac{2}{3} \cdot b, \quad y = \frac{2}{3} \cdot d
\] 
Die Fl"ache $A_3$ berechnet sich aus:
\[
  A_3 = \frac{1}{2} \cdot h \cdot d = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot b \cdot d = 3 A_1  = \frac{3}{2} b c
  \quad \DANN \quad d = \frac{9}{2} \cdot c
\] 
Nachdem das Verh"altniss zwischen den Seitenl"angen $c$ und $d$ bekannt ist,
kann der gesamte Fl"acheninhalt berechnet werden. Um ein Fl"achenma"s zu
erhalten wird $c=10 \, \mathrm{cm}$ definiert.
\begin{displaymath}
  A_2 = 200 \, \mathrm{cm}^2 = b \cdot c \quad \DANN \quad b=20 \, \mathrm{cm}, 
  \qquad d=\frac{9}{2} \cdot c = 45 \, \mathrm{cm}  
\end{displaymath} 
\begin{displaymath}
  A_{\rm ges} = (c+d) \cdot (b+b) - A_1 = (10+45) \, \mathrm{cm} \cdot (20+20) \, \mathrm{cm} - 100 \, \mathrm{cm}^2 = 2100 \, \mathrm{cm}^2
\end{displaymath} 
Bauer Hein muss demnach 2100,- \EUR{} f"ur seinen f"unfeckigen Acker bezahlen. \\

\begin{tiny}   Quelle: Spektrum der Wissenschaft \end{tiny}
}
