\ANG{
Ein illegaler Wettanbieter wirbt auf einem Jahrmarkt mit folgendem Plakat:
\begin{center}
\fbox{\parbox[t]{12.9cm}{
Sie werfen einen roten und einen blauen W"urfel. Bei den Augensummen 2, 3, 4,
9, 10, 11 und 12 bekommen Sie Ihren Einsatz doppelt zur"uck, bei den
Augensummen 5, 6, 7 und 8 verlieren Sie Ihren Einsatz.
  \begin{center}{\bfseries
    Da Sie bei 7 Augensummen gewinnen und nur bei 4 Augensummen verlieren,
    betr"agt Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit $\D\frac{7}{11}\approx 64\,\%$.}
  \end{center}}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Schreibe einen m"oglichst \GF{feinen} Ergebnisraum $\Omega$ f"ur das
  Zufallsexperiment hin und berechne dann die Wahrscheinlichkeiten der
  Ereignisse $S_{2}$: \GF{Augensumme ist 2} bis 
  $S_{12}$: \GF{Augensumme ist 12}.
\item Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
  $G:$ \GF{Spieler gewinnt}?
\item Welcher mittlere Gewinn bzw. Verlust pro Spiel ist zu erwarten, wenn
  sich der Spieler zu sehr vielen Spielen hinrei"sen l"a"st und der Einsatz
  pro Spiel mit $E$ bezeichnet wird? Berechne auch die {\em Rendite} $R$ des
  Spiels, die folgenderma"sen definiert ist:
  \[R=\frac{\text{mittlerer Gewinn pro Spiel}}{E}.\]
\item Wir betrachten jetzt ein beliebiges Spiel mit folgenden Regeln: Verliert
  der Spieler, dann geh"ort der Einsatz $E$ dem Spieleanbieter, gewinnt der
  Spieler, dann erh"alt er seinen Einsatz zur"uck und zus"atzlich das
  $g$-fache des Einsatzes. Beweise f"ur die Rendite:
  \[R=P(G)(g+1)-1\]
\item Informiere dich "uber die Spielregeln beim Roulette und berechne die
  Renditen folgender Spiele:
  \begin{enumerate}
  \item Setzen auf rot (Gewinn: $G=E$)
  \item Setzen auf ein Dutzend (Gewinn: $G=2E$)
  \item Setzen auf eine Zahl (Gewinn: $G=35E$)
  \end{enumerate}
\item Ein Spiel hei"st {\em fair}, wenn die Rendite null ist. Welche Gewinne
  m"ussen in den behandelten Spielen ausbezahlt werden, damit es sich um faire
  Spiele handelt?
\end{enumerate}
}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
\item $\Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),\,...\,,(6,6)\}$ mit $|\Omega|=36$.
  \begin{center}
  \renewcommand{\arraystretch}{1.9} 
  \begin{tabular}[t]{cclcl}
   $E_{2}$&$=$&$\{(1,1)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{1}{36}$\\
   $E_{3}$&$=$&$\{(1,2),(2,1)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{2}{36}$\\
   $E_{4}$&$=$&$\{(1,3),(2,2),(3,1)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{3}{36}$\\\hline
   $E_{5}$&$=$&$\{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{4}{36}$\\
   $E_{6}$&$=$&$\{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{5}{36}$\\
   $E_{7}$&$=$&$\{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{6}{36}$\\
   $E_{8}$&$=$&$\{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{5}{36}$\\\hline
   $E_{9}$&$=$&$\{(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{4}{36}$\\
   $E_{10}$&$=$&$\{(4,6),(5,5),(6,4)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{3}{36}$\\
   $E_{11}$&$=$&$\{(5,6),(6,5)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{2}{36}$\\
   $E_{12}$&$=$&$\{(6,6)\}$&,&$\D P(E_{2})=\frac{1}{36}$\\
  \end{tabular}\renewcommand{\arraystretch}{1.0}
  \end{center}
\item Das Ereignis $\overline{G}:$ \GF{Spieler verliert} tritt ein, wenn eines
  der Ereignisse $E_{5}$, $E_{6}$, $E_{7}$ oder $E_{8}$ eintritt:
  \[P(\overline{G})=\frac{4}{36}+\frac{5}{36}+\frac{6}{36}+\frac{5}{36}=
      \frac{20}{36}=\frac{5}{9}=55{,}\overline{5}\,\%\]
  \[P(G)=1-P(\overline{G})=\frac{4}{9}=44{,}\overline{4}\,\%\]
  Die Gewinnwahrscheinlichkeit betr"agt also nur $44{,}\overline{4}\,\%$ und
  nicht wie auf dem Plakat angek"undigt $64\,\%$.
\item Bei einer sehr gro"sen Zahl $n$ von Spielen wird der Spieler im Mittel 
  $\frac{4}{9}\cdot n$ Spiele gewinnen und $\frac{5}{9}\cdot n$ Spiele
  verlieren. Da er bei einem gewonnenen Spiel den Einsatz $E$ gewinnt und 
  bei einem verlorenen Spiel den Einsatz $E$ verliert, hat er nach $n$ Spielen
  im Mittel
  \[\frac{4}{9}nE-\frac{5}{9}nE=-\frac{1}{9}nE\] 
  gewonnen bzw. $\frac{1}{9}nE$ verloren. Der mittlere Gewinn pro Spiel ist also
  \[-\frac{1}{9}E=-11{,}\overline{1}\%\cdot E\]
  die Rendite also $R=-11{,}\overline{1}\%$.
\item Bei einer sehr gro"sen Zahl $n$ von Spielen wird der Spieler im Mittel 
  $P(G)\cdot n$ Spiele gewinnen und $P(\overline{G})\cdot n$ Spiele
  verlieren. Da er bei einem gewonnenen Spiel den Einsatz $gE$ gewinnt und 
  bei einem verlorenen Spiel den Einsatz $E$ verliert, hat er nach $n$ Spielen
  im Mittel
  \[P(G)ngE-P(\overline{G})nE=P(G)ngE-(1-P(G))nE\] 
  gewonnen. Der mittlere Gewinn pro Spiel ist also
  \[P(G)gE-(1-P(G))E=P(G)(g+1)E-E\]
  die Rendite also $R=P(G)(g+1)-1$.
\item
  \begin{enumerate}
  \item $\D P(G)=\frac{18}{37},\,\,g=1\quad\DANN\quad 
    R=\frac{18}{37}\cdot(1+1)-1=-\frac{1}{37}=-2\frac{26}{37}\,\%
      \approx -2{,}7\,\%$
   \item $\D P(G)=\frac{12}{37},\,\,g=2\quad\DANN\quad 
    R=\frac{12}{37}\cdot(2+1)-1=-\frac{1}{37}=-2\frac{26}{37}\,\%$
   \item $\D P(G)=\frac{1}{37},\,\,g=35\quad\DANN\quad 
    R=\frac{1}{37}\cdot(35+1)-1=-\frac{1}{37}=-2\frac{26}{37}\,\%$
  \end{enumerate}
\item F"ur ein faires Spiel gilt $R=P(G)(g+1)-1=0$, d.h.
  \[g=\frac{1}{P(G)}-1\]
W"urfelspiel: $\D P(G)=\frac49\quad\DANN\quad
g=\frac94-1=\frac54=1{,}25$\\[2mm]
Roulette:
  \begin{enumerate}
  \item Setzen auf rot: 
   $\D P(G)=\frac{18}{37}\quad\DANN\quad
    g=\frac{37}{18}-1=\frac{19}{18}= 1{,}0\overline{5}$
  \item Setzen auf ein Dutzend:
   $\D P(G)=\frac{12}{37}\quad\DANN\quad
    g=\frac{37}{12}-1=\frac{25}{12}= 2{,}08\overline{3}$
  \item Setzen auf eine Zahl:
   $\D P(G)=\frac{1}{37}\quad\DANN\quad
    g=37-1=36$
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
}
