\ANG{
% 9/Geometrie/Aehnlichkeit - Goldener Schnitt 
Im Dreieck ABC gilt $\gamma=2\,\alpha$.
\begin{enumerate}
\item Erstelle eine "ubersichtliche Planfigur und dr"ucke die L"ange 
$w_{\gamma}$ der Winkelhalbierenden von $\gamma$ durch die Seitenl"angen 
$a$, $b$ und $c$ aus.
\item In welchem Verh"altnis, ausgedr"uckt durch die Seitenl"angen, wird 
$[\mathrm{AB}]$ von der Winkelhalbierenden von $\gamma$ geteilt?
\item F"ur welche spezielle Wahl des Winkels $\alpha$ teilt die 
Winkelhalbierende von $\gamma$ die Seite $[\mathrm{AB}]$ im goldenen Schnitt? 
Verwende die Ergebnisse der Teilaufgaben (a) und (b).
\end{enumerate}

}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
\item  $D=w_{\gamma}\cap [AC]$: $\Delta ABC\sim\Delta CBD$ und 
$\overline{AD}=w_{\gamma}$ ergibt $\D w_{\gamma}=\frac{a\,b}{c}$
\item $\D\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}=\frac{b}{a}$
\item $\D\frac{c}{\overline{AD}}=\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}\,
\stackrel{(b)}{=}\,\frac{b}{a}\;\;\Longrightarrow\;\;
\frac{w_{\gamma}}{a}=\frac{\overline{AD}}{a}=\frac{c}{b}
\;\;\stackrel{(a)}{\Longrightarrow}\;\;\frac{b}{c}=\frac{c}{b}$\\[2mm]
$b^2=c^2\;\;,\;\;b=c\;\;\Longrightarrow\;\;
\beta=\gamma=2\,\alpha\;\;\Longrightarrow\;\;5\,\alpha=360^\circ
\;\;,\;\;\alpha=72^\circ$
\end{enumerate}
}
