\ANG{
\begin{enumerate}
\item
Zeige durch Einsetzen, dass $x=2$  Lösung der folgenden Gleichung ist. Beschreibe, welche besondere geometrische Bedeutung man dem Punkt $(2|7)$  zuschreiben kann, wenn man beide Seiten der Gleichung als Terme von Funktionen ansieht. \\ \\
$\D \frac 3 {x-1} + 4 = \frac {-4}{x-4} + 5$
\item			 
Gib jeweils an, für welche x-Werte die Bruchgleichung definiert ist, und bestimme die Lösung. \\ \\
(1) $\D \frac 2 {x+1} = \frac 1 {x-4}$\qquad	(2)	 $\D 5 \, x^{-1} = \frac 3 {2 x^2 - x}$	\qquad 
(3) $\D \frac {-2} {x^2 - x} - \frac 5 {4x} = 0$		 

\end{enumerate}
}
%
\LSG{
\begin{enumerate}
    \item Wegen \\ \\
    $\D \frac 3 {2-1} + 4 = \frac 3 1 + 4 = 7$ (linke Seite) und \\ \\
    $\D \frac {-4} {2-4} + 5 = \frac {-4}{-2} + 5 = 2 + 5 = 7$ (rechte Seite) \\ \\
    ist $x=2$ eine Lösung der Gleichung. \\ \\
    Durch einsetzen von $x=2$ in die Funktion $x \mapsto \D \frac 3 {x-1} + 4$ und 
    in die Funktion $\D x \mapsto \frac {-4}{x-4} + 5$ ergibt sich für y jeweils der Funktionswert $y=7$. Beide Graphen haben also den Punkt $(2|7)$ gemeinsam, sie 
    schneiden sich dort.
    \item
    (1) Die Bruchgleichung ist für $\QQ \setminus \lbrace -1; 4 \rbrace$ definiert.
    Lösung: \\ \\
    \begin{tabular}{ll}
    $\D \frac 2 {x+1} = \frac 1 {x-4}$   & $| \cdot (x+1)(x+4)$ \\ \\
    $2 \cdot (x-4) = 1 \cdot (x+1)$   \\ \\
    $2x-8 = x + 1$ & $| -x + 8$\\ \\
    $x = 9$ &(Lösung) 
    \end{tabular} \\ \\
    (2) Die Bruchgleichung ist für $\QQ \setminus \lbrace 0; \frac 1 2 \rbrace$ definiert.
Lösung: \\ \\
    \begin{tabular}{ll}
$\D 5 \, x^{-1} = \frac 3 {2 x^2 - x}$  &  \\ \\
$\D \frac 5 x = \frac 3 {x \cdot (2 x - 1)}$ & $| \cdot x \cdot (2 x-1)$ \\ \\
$5 \cdot (2x-1) = 3 $ &  \\ \\
$10x - 5 = 3$ & $|+5$ \\ \\
$10x = 8$ & $|:10$ \\ \\
$x = 0,8$ & (Lösung)
    \end{tabular} \\ \\
    (3) Die Bruchgleichung ist für $\QQ \setminus \lbrace 0; 1 \rbrace$ definiert. \\ \\
    \begin{tabular}{ll}
$\D \frac {-2} {x^2 - x} - \frac 5 {4x} = 0$ \\ \\
$\D \frac {-2} {x \cdot (x-1)} - \frac 5 {4x} = 0$ &$| \cdot 4 \cdot x \cdot (x-1)$ \\ \\
${-2} \cdot 4 - 5 \cdot (x-1) = 0$ \\ \\
$-8 - 5x + 5 = 0$ \\ \\
$-3 - 5x = 0$  &$|+3$\\ \\
$-5x = 3$ & $|:(-5)$ \\ \\
$\D x = -\frac 3 5 = -0,6$ & (Lösung)
    \end{tabular}
\end{enumerate}
}