\definecolor{lightblue}{rgb}{0.8,0.8,1.0}
\definecolor{lightgreen}{rgb}{0.8,1.0,0.8}
\definecolor{lightgray} {rgb}{0.8,0.8,0.8}
\newcommand{\luecke}[1]{\colorbox{lightgray}{\strut{\textcolor{lightgray}{#1}}}}
\newcommand{\lueckL}[1]{\colorbox{lightgray}{\strut{\textcolor{red}{#1}}}}
\ANG{
\begin{enumerate}
\item
Ergänze die unvollständigen Potenzgesetze (P2) bis (P5) für ganzzahlige Exponenten sowie die Definition (D) von Potenzen mit negativen Exponenten. \\
$\left( x,y \in\QQ \setminus \lbrace 0 \rbrace; p, q \in \ZZ; n \in \NN \right)$\\ \\
\begin{tabular}{ll}
(P1) \qquad $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$          & (P2) \qquad $\D \frac{x^p}{x^q} =$ \\ \\
(P3) \qquad $x^p \cdot y^p =$ \qquad \qquad \qquad \qquad   & (P4) \qquad $\D \frac {x^p}{y^p} =$ \\ \\
(P5) \qquad $\left(x^p \right)^q =$ \qquad \qquad \qquad \qquad   & (D) \qquad $x^{-n} =$ \\ \\
\end{tabular}
\item
Jede der folgenden Rechnungen enthält einen Fehler. Beschreibe jeweils, welche Regel aus Aufgabe (a) missachtet bzw. falsch angewendet wurde. \\ \\
(1) $\D 2^{-2} \cdot 2^3 = 2^{-6} = \frac 1 {2^6} = \frac 1 {64}$ \\ \\
(2) $\D 2^{-4}:2^2 = 2^{-2} = \frac 1 {2^2} = \frac 1 4$ \\ \\
(3) $\D 2^{-3}+2^4 = 2^{-3+4} = 2^1 = 2$ \\ \\
(4) $\D 2^{-3} \cdot \left( \frac 1 4\right)^{-3} = \left( 2 \cdot \frac 1 4\right)^{-3-3} = \left( \frac 1 2 \right)^{-6} = 2^6 = 64$ \\ \\
(5) $\D \left(2^{-3}\right)^2 = 2^9 = 512$ \\
\end{enumerate}
}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
\item 
P(2) \quad $\D \frac{x^p}{x^q} = x^{p-q}$ \quad (P3) \quad $x^p \cdot y^p = (x y)^p$ \quad P(4) 
$\D \frac {x^p}{y^p} = \left(\frac x y \right)^p$ \\ 
P(5) \quad $\left(x^p \right)^q = x^{p \cdot q}$  \quad
(D) \quad $x^{-n} = \frac 1 {x^n}$ \\ \\
\item 
(1) im 1. Schritt (P1) nicht korrekt angewandt. \\
\qquad Korrekte Rechnung: $2^{-2} \cdot 2^3 = 2^{-2+3} = 2^1 = 2$ \\
(2) im 1. Schritt (P2) nicht korrekt angewandt. \\
\qquad Korrekte Rechnung: $2^{-4} : 2^2 = 2^{-4-2} = 2^{-6} = \frac 1 {2^6} = \frac 1 {64}$ \\
(3) (P1) nicht anwendbar, da der Term kein Produkt ist. \\
\qquad Korrekte Rechnung: $2^{-3}+2^4 = \frac 1 {2^3} + 2^4 = \frac 1 8 + 16 = 16 \frac 1 8$ \\
(4) im 1. Schritt (P3) nicht korrekt angewandt. \\
\qquad Korrekte Rechnung: $\D 2^{-3} \cdot \left( \frac 1 4 \right)^{-3} = \left( 2 \cdot \frac 1 4 \right)^{-3} = \left( \frac 1 2 \right)^{-3} = 2^3 = 8$ \\
(5) im 1. Schritt (P5) nicht korrekt angewandt. \\
\qquad Korrekte Rechnung: $\D \left( 2^{-3}\right)^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6} = \frac 1 {2^6} = \frac 1 {64}$ \\
\end{enumerate}
}