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\ANG{
{\bf Kartonformen}

In Deutschland werden bestimmte Papiergr"o"sen nach der DeutschenIndustrieNorm 
(DIN) bezeichnet. F"ur DIN-A Formate von Papier gelten folgende Bedingungen: 
\begin{itemize}
\item Die Rechtecke sind einander "ahnlich.
\item Durch Halbieren der l"angeren Seite erh"alt man das n"achstkleinere 
DIN-A Format.
\item Ein Rechteck des Formats DIN-A 0 ist $1\,\mathrm{m^{2}}$ gro"s.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{15im017p1} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Bestimme den Verkleinerungsfaktor, den man am Fotokopierer einstellen 
muss, um ein DIN-A4 Blatt auf DIN-A5 zu verkleinern.
\item Wie ist das beim Verkleinern von DIN-A2 auf DIN-A3?
\item Eine Fabrik stellt aus DIN-A4 Pappst"ucken oben offene quaderf"ormige 
Pappk"asten mit maximalem Volumen her (siehe Abbildung). Dabei wird an jeder 
Ecke ein Quadrat als Klebefalz benutzt. Den wie vielfachen Rauminhalt h"atte 
ein solcher Kasten aus DIN-A3 Papier?

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{15im017p2} 
\end{center}

\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item F"ur das DIN-A4 Blatt betr"agt das Seitenverh"altnis $a : b$, f"ur das Blatt 
DIN-A5 betr"agt es $b:\frac{a}{2}$. Also gilt: $\frac{a}{b}=\frac{2\cdot b}{a}
\Rightarrow a^{2}=2b^{2}$. Das Seitenverh"altnis $a : b$ betr"agt also 
$\sqrt{2}:1$.\\
Der Fl"acheninhalt wird halbiert, also wird jede Seitenl"ange (und darauf 
bezieht sich die eingestellte Zahl) um den Faktor $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 
70,71\%$ gek"urzt.
\item
\item Auf anschaulichem Niveau: Klar, die Schachteln sind "ahnlich zueinander. 
Jede Seitenl"ange wird mit dem Faktor $\sqrt{2}$ gestreckt, also vervielfacht 
sich das Volumen um den Faktor $\sqrt{8}$.
\end{enumerate}
}
