\ANG{
$a$ sei eine positive, nicht ganze rationale Zahl, d.h. $a\in\QQ^{+}$ und
$a\notin \NN$. Die Bruchdarstellung $\D a=\frac{Z}{N}$ sei vollst"andig gek"urzt,
d.h. die Primfaktorzerlegungen
\[Z=p_{1}\cdot p_{2}\cdot\, ...\,\cdot p_{n}\quad\text{und}\quad
  N=q_{1}\cdot q_{2}\cdot\, ...\,\cdot q_{m}\]
enthalten keinen gemeinsamen Faktor.
\begin{enumerate}
\item  Beweise, dass auch $a^{2}$ keine
nat"urliche Zahl ist ($a^{2}\notin\NN$) und formuliere das Ergebnis in einem
pr"agnanten Satz.
\item Gibt es eine rationale Zahl, deren Quadrat 10 ist?
\item Gibt es eine rationale Zahl, deren Quadrat 1000 ist?
\item Gibt es eine rationale Zahl, deren Quadrat $10^{n}$ ($n\in\NN$) ist?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D a^{2}=\frac{Z^{2}}{N^{2}}=
  \frac{p_{1}^{2}\cdot p_{2}^{2}\cdot\, ...\,\cdot p_{n}^{2}}
       {q_{1}^{2}\cdot q_{2}^{2}\cdot\, ...\,\cdot q_{m}^{2}}$ kann nicht
       gek"urzt werden, da $q_{i}\neq p_{k}$. $a^{2}$ w"are nur dann eine
       nat"urliche Zahl, wenn sich alle Faktoren im Nenner wegk"urzen lie"sen.
  \begin{center}
     \fbox{
            Das Quadrat einer nicht ganzen rationalen Zahl ist nicht ganz.
          }
  \end{center}
\item Wegen $3^{2}=9<10$ und $4^{2}=16>10$ gibt es keine nat"urliche Zahl mit
  dem Quadrat 10. Da es auch keine nicht ganze rationale Zahl mit dem Quadrat
  10 gibt, gibt es "uberhaupt keine rationale Zahl, deren Quadrat 10 ist.
\item Wegen $31^{2}=961<1000$ und $32^{2}=1024>1000$ gibt es keine nat"urliche Zahl mit
  dem Quadrat 10 $\DANN$ nein
\item $x^{2}=10^{n}=2^{n}\cdot 5^{n}$. $x$ muss also $\frac{n}{2}$-mal den
  Faktor 2 und $\frac{n}{2}$-mal den Faktor 5 enthalten. Das geht nur f"ur $n$ gerade.
\end{enumerate}
}
