\ANG{
\begin{enumerate}
\item Berechne $x=\sqrt{17}$ mit dem Heronverfahren und dem Startwert
  $x_{1}=4$. Mache die Probe nach jedem Iterationsschritt.
\item $h$ sei eine kleine Zahl, d.h. $|h|\ll 1$. Wir suchen einen
  N"aherungswert f"ur $x=\sqrt{1+h}$. Beginne mit $x_{1}=1$ und berechne mit
  dem Heronverfahren den verbesserten Wert $x_{2}$. Vereinfache das Ergebnis. 

  Berechne mit der gefundenen Formel einen N"aherungswert f"ur 
  $a=\sqrt{1{,}005}$. Um wieviel Prozent weicht dieser
  N"aherungswert vom Taschenrechnerwert f"ur $a$ ab? 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D x_{n+1}=\left(x_{n}+\frac{17}{x_{n}}\right):2$\\[2mm]
\begin{tabular}[t]{ll}
      $\D x_{2}=\left(4+\frac{17}{4}\right):2=4{,}125$,&
      $x_{2}^{2}=17{,}015\,625$\rule[-5mm]{0mm}{10mm}\\
      $\D x_{3}=\left(x_{2}+\frac{17}{x_{2}}\right):2=4{,}1231060606$,&
      $x_{3}^{2}=17{,}000\,003\,587$\rule[-5mm]{0mm}{10mm}\\
      $\D x_{4}=\left(x_{3}+\frac{17}{x_{3}}\right):2=4{,}12310562562$,&
      $x_{3}^{2}=17{,}000\,000\,000$\rule[-6mm]{0mm}{10mm}
\end{tabular}
\item $\D x_{n+1}=\left(x_{n}+\frac{1+h}{x_{n}}\right):2$\\[2mm]
      $\D x_{2}=\left(1+\frac{1+h}{1}\right):2=1+\frac{h}{2}$\\[2mm]
      $\D a=\sqrt{1+0{,}005}\approx 1+\frac{0{,}005}{2}=1{,}0025=x_{2}$,\quad
      $a=1{,}00249688279$\\[2mm]
      $\D \delta_{\text{rel}}=\frac{x_{2}-a}{a}=
       \frac{3{,}1172\cdot 10^{-6}}{1{,}00249688279}=3{,}1094\cdot 10^{-6}=
       0{,}00031094\,\%$
\end{enumerate}
}
