\ANG{
Beim Heronschen Verfahren zur Bestimmung der Wurzel aus $a$ kann
man Startwerte $x_0=a$ und $y_0=1$ w"ahlen und $\sqrt{a}$ mit Hilfe
der Iteration 
$$
x_{n+1}={x_n +y_n\over 2} {\rm \quad sowie \quad } y_{n+1}={a \over x_{n+1}}
\quad, n\in\NN_0 
$$
berechnen.
\begin{enumerate}
\item
Begr"unde: Das arithmetische Mittel aus den Werten
$x_n$ und $y_n$ ist jeweils $x_{n+1}$,  das geometrische Mittel ist immer 
$\sqrt{a}$.
\item
F"ur beliebige positive Zahlen $p$ und $q$ ist das
arithmetische Mittel immer gr"o"ser oder gleich dem geometrischen
Mittel. "Uberpr"ufe zum Nachweis zun"achst die Ungleichung: 
$$
\left({p+q \over 2}\right)^2 - pq \geq 0
$$
und beweise damit die Behauptung.
\item
Begr"unde mit Hilfe der letzten Teilaufgabe, da"s  $x_n$ f"ur 
$n \geq 1$  immer gr"o"ser
und $y_n$ immer kleiner als $\sqrt{a}$ ist.
\end{enumerate}
}
\LSG{\mbox{}
}
