\ANG{
% 9/Algebra/N"aherungsverfahren 
%%\item
{\bf Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel}\\[2mm]
Um die Wurzel aus einer Zahl $a>0$ zu berechnen, starten wir mit einem 
m"oglichst genauen N"aherungswert $x_1\approx\sqrt{a}$. $x_1$ unterscheidet 
sich vom wahren Wert der Wurzel um die kleine Zahl $\varepsilon$, d. h.
\[\sqrt{a}=x_1+\varepsilon\qquad (\rm I)\]
Um den ungef"ahren Wert von $\varepsilon$ zu erhalten, quadriert man zun"achst 
(I). Unter der Voraussetzung, da"s $|\varepsilon|$ sehr klein gegen $x_1$ ist, 
kann man $\varepsilon^2$ vernachl"assigen und die so entstandene Gleichung 
nach $\varepsilon$ aufl"osen. Damit erh"alt man dann die bessere N"aherung 
$x_2=x_1+\varepsilon$ f"ur $\sqrt{a}$.
\begin{enumerate}
\item Beweise:
\[\fbox{$\D x_2=\frac{1}{2}\cdot\left(x_1+\frac{a}{x_1}\right)$}\qquad
{\rm (II)}\]
Das Newton-Verfahren besteht nun darin, Gleichung (II) immer wieder 
auf den verbesserten N"aherungswert anzuwenden, bis die gew"unschte 
Genauigkeit erreicht ist:\quad 
$\D x_3=\frac{1}{2}\cdot\left(x_2+\frac{a}{x_2}\right)$,\quad 
$\D x_4=\frac{1}{2}\cdot\left(x_3+\frac{a}{x_3}\right)$ usw.
\item Berechne $\sqrt{10}$ mit dem Startwert $x_1=3$. Rechne solange, bis 
sich das Ergebnis auf dem Taschenrechner nicht mehr "andert! Berechne auch 
den relativen Fehler der einzelnen N"aherungswerte. Verwende den Speicher 
deines Taschenrechners.
\item Berechne $\sqrt{2}$ mit dem Startwert $x_1=1$.
\end{enumerate}
}
\LSG{ (b)\quad$\D \begin{array}[t]{ll} 
x_2=3,1\overline{6} & \delta_2=1,39\cdot 10^{-3} \\
x_3=3,162280701754386 & \delta_3=9,62\cdot 10^{-7} \\
x_4=3,162277660169842 & \delta_4=4,63\cdot 10^{-13} \\
x_5=3,162277660168379 & \delta_5\approx 0\quad (1,07\cdot 10^{-25})
\end{array}$\\[2mm]
(c)\quad$\D \begin{array}[t]{ll} 
x_2=1,5 & \delta_2=6,07\cdot 10^{-2} \\
x_3=1,41\overline{6} & \delta_3=1,73\cdot 10^{-3} \\
x_4=1,414215686627451 & \delta_4=1,50\cdot 10^{-6} \\
x_5=1,414213562374690 & \delta_5=1,13\cdot 10^{-12}\\
x_6=1,414213562373095 & \delta_5\approx 0\quad (6,36\cdot 10^{-25})
\end{array}$
}
