\ANG{
% 9/Algebra/N"aherungsverfahren 
%%\item
{\bf Die lineare N"aherung}\\[2mm]
Um die Wurzel einer nahe bei Eins gelegenen Zahl $1+x$ mit $|x|\ll 1$ zu 
berechnen, gibt es eine einfache N"aherungsformel der Form
\[\sqrt{1+x}\approx 1+a\,x\quad (\rm I)\]
\begin{enumerate}
\item Quadriere (I) und vernachl"assige den wegen $|x|\ll 1$ sicher sehr 
kleinen Summanden, der $x^2$ enth"alt! Vergleiche die linke und die rechte 
Gleichungsseite und bestimme dann $a$!
\item Berechne mit der gefundenen N"aherungsformel $\sqrt{1,002}$ und 
$\sqrt{0,99996}$ und vergleiche mit den Taschenrechnerergebnissen! 
Berechne die relativen Fehler der N"aherungswerte!
\item Die lineare N"aherung liefert oft viel genauere Ergebnisse als die  
direkte Rechnung mit dem Taschenrechner. Als Beispiel sei folgender Ausdruck 
einmal mit dem Taschenrechner und einmal mit der linearen N"aherung berechnet 
: \[ y = \left( 1 - \sqrt{1 - 10^{-16}} \right) \cdot 10^{20}\]
Das auf 24 Dezimalstellen genaue Ergebnis lautet "ubrigens 
\[ y = 5000,000000000000125000000000\,\, .\]
\item Eine Atomuhr wird mit der Geschwindigkeit $v$ "uber eine Strecke $s$ 
transportiert. Dabei mi"st eine relativ zur Erde ruhende zweite Atomuhr die
Transportzeit $t = \frac{\D s}{\D v}$. Die Relativit"atstheorie Einsteins 
lehrt, da"s die von der bewegten Uhr f"ur den gleichen Vorgang gemessene 
Zeit durch \[ \fbox{$\D t' = t \cdot \sqrt{1 - \beta ^2}$} \]
mit $\beta = \frac{\D v}{\D c}$ und $c = 3 \cdot 10^8\,\frac{\rm m}{\rm s}$ 
(Lichtgeschwindigkeit) gegeben ist.\\
Berechne den Unterschied $\Delta t = t - t'$ der von beiden Uhren gemessenen 
Zeiten f"ur $s = 300\,$km mit $v = 108\,\frac{\rm km}{\rm h}$ und f"ur 
$s = 40000\,$km mit $v = 432\,\frac{\rm km}{\rm h}$!
\end{enumerate}
}
\LSG{  
\begin{enumerate}
\item $a=\frac{1}{2}$, d. h. $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{x}{2}$
\item $\sqrt{1,002}\approx 1,001$, $\delta = 5\cdot 10^{-7}$; 
$\sqrt{0,99996}\approx 0,99998$,  $\delta = 2\cdot 10^{-10}$
\item Taschenrechner: $y=0$; lineare N"aherung: $y=5000$
\item $\D\Delta t\approx \frac{s\,\beta^2}{2\,v}=5\cdot 10^{-11}\,$s 
($2,7\cdot 10^{-8}\,$s)
\end{enumerate}
}
