\ANG{
\begin{enumerate}
\item Lisa und Georg unterhalten sich "uber den Inhalt ihrer Geldbeutel (alles
  in \EUR). Lisa: \GF{Wenn ich zu meinem Betrag seinen Kehrwert addiere,
  erhalte ich ...}. Georg hat die von Lisa genannte Zahl verstanden und
  antwortet nach kurzer Rechnung: \GF{Komisch, obwohl ich viermal so viel
    besitze wie du, kommt bei mir das gleiche Ergebnis heraus, wenn ich meinen
    Geldbetrag und seinen Kehrwert addiere.} Berechne die Reicht"umer der beiden.
\item Wir betrachten die Funktion $f$ mit der Gleichung
\[f(x)=x+\frac{1}{x}\text{ und }\DD_{f}=\RR\OHNE\{0\}.\]
\begin{enumerate}
\item Untersuche f"ur welche $x$ die Gleichung $f(nx)=\beta f(x)$ mit $n>1$ gilt und f"ur welche $\beta$
   es "uberhaupt L"osungen gibt. Zeige, dass die L"osung von Teilaufgabe (a)
  ein Spezialfall ist.
\item Bestimme die Anzahl der L"osungen der Gleichung $f(x)=a$ in Abh"angigkeit von $a$.
 Gib an, was daraus f"ur die Wertemenge von $f$ folgt.
\item Zeichne den Graphen von $f$ im Intervall $[-5, 5]$ und veranschauliche
  das Ergebnis von Teilaufgabe (a).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Der Besitz von Lisa ist $x$:\qquad $\D x+\frac{1}{x}=4x+\frac{1}{4x}
\QDQ x^{2}=\frac14\QDQ x=\pm\frac12$\\[2mm]
Wenn wir annehmen, dass sie keine Schuldscheine in ihren Geldbeuteln haben,
besitzt Lisa 0,5\,\EUR und Georg 2\,\EUR.
\item \begin{enumerate}
\item $\D nx+\frac{1}{nx}=\beta x+\frac{\beta}{x}\QDQ
x^{2}=\frac{\beta n-1}{n(n-\beta)}\QDQ
x=\pm\sqrt{\frac{\beta n-1}{n(n-\beta)}}$\\[2mm]
L"osungen gibt es nur, wenn 
$\D\frac{\beta-\frac{1}{n}}{n-\beta}> 0\text{ (da }x\neq 0)\QDQ$
\begin{align*}
\left(\beta-\frac{1}{n}> 0\,\wedge\,n-\beta> 0\right)\,\,&\vee\,\,
\left(\beta-\frac{1}{n}< 0\,\wedge\,n-\beta< 0\right)\\
\left(\beta> \frac{1}{n}\,\wedge\,\beta< n\right)\,\,&\vee\,\,
\left(\beta< \frac{1}{n}\,\wedge\,\beta> n\right)
\end{align*}
Da $n>1$, f"allt die zweite M"oglichkeit weg und es folgt 
$\D\frac{1}{n}<\beta<n$.\\[2mm]
In Teilaufgabe (a) ist $\beta=1$ und $n=4$ und es folgt 
$\D x=\pm\sqrt{\frac{1\cdot 4-1}{4(4-1)}}=\pm\frac12$.
\item $\D x+\frac{1}{x}=a\QDQ x^{2}-ax=-1\QDQ 
x^{2}-2\cdot\frac{a}{2}\,x+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{4}-1$\\[2mm]
$\D x=\frac{a}{2}\pm\frac12\sqrt{a^{2}-4}$ 
$\QDQ\begin{cases}
\text{2 L"osungen f"ur $|a|>2$}\\
\text{1 L"osung f"ur $a=\pm 2$}\\
\text{keine L"osung f"ur $|a|<2$}
\end{cases}$\\[2mm]
Da die L"osungen die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte von Parallelen zur
$x$-Achse im Abstand $a$ mit dem Funktionsgrafen sind und es f"ur $|a|<2$
keine L"osungen gibt, ist die Wertemenge $\WW_{f}=]-\infty,-2]\cup[2,+\infty[$.
\item \EPSR{4cm}{09rr0621}{8cm}{}{
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} \PSFM{1}{1} \PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} 
\PSFM{4}{4} \PSFM{5}{5} \PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{-2}{$-2$} 
\PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-4}{$-4$} \PSFM{-5}{$-5$} 
}{
Parallele zur $x$-Achse im Abstand 2,5 schneidet den Grafen bei $x_{1}=0{,}5$
und $x_{2}=2$.
}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
} 
