\ANG{

Zur M"unchner Sportmesse FITSAMA werden $k_{0}=100\,000$ Besucher
erwartet. Der Autor Mike Velo stellt sein neues Buch 
{\em Fit ohne Chemie?} vor. Mike m"ochte den Preis $x$ (in $\MEUR$) des Buches so
kalkulieren, dass seine Einnahmen maximal werden. Dazu verwendet er die
Funktion $k:\,x\to k(x)$, die in Abh"angigkeit von $x$ angibt, wie viele Besucher der Messe sein Buch kaufen und eine Funktion 
 $E:\,x\to E(x)$, welche die gesamten Einnahmen (in $\MEUR$) in Abh"angigkeit von $x$ angibt.
\begin{enumerate} 
\item Zuerst nimmt Mike an, dass $k$ bis zur Nullstelle eine lineare Funktion
  ist, f"ur $x=0$ jeder das Buch nimmt und f"ur $x\geqq 50\,\MEUR$ keiner mehr
  sein Buch kauft. Ermittle, f"ur welches $x=x_{0}$ die Einnahmen $E(x)$ maximal werden und gib diese maximalen Einnahmen an. Zeichne die Graphen der Funktionen $k$ und
  $E$ in geeigneten Einheiten.
\item Mikes Frau gibt zu bedenken, dass nicht nur "Geiz-ist-geil-Kunden" die
  Messe besuchen, sondern auch einige Snobs darunter sind, die eine Ware nur
  dann sch"atzen, wenn sie auch teuer genug ist. Gemeinsam entwickeln sie
  folgende K"auferfunktion:
  \[k(x)=k_{0}-ax-\frac{b}{x}\quad\text{mit}\quad
  a=1200\quad\text{und}\quad
  b=400\,000$\\
 Ermittle, f"ur welches $x=x_{1}$ die Einnahmen $E(x)$ jetzt maximal werden und wie hoch sie dann sind. 
  Zeichne die Graphen der Funktionen $k$ und $E$ in geeigneten
  Einheiten. Gib eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion $k$ an.
\item Erläutere, welche Annahmen der K"auferfunktion
  aus Teilaufgabe (b) zugrunde liegen k"onnten.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item[(a)] $\D k(x)=100\,000-ax$ mit $\D k(50)=0\QDQ
  a=2000\QDQ$\\[2mm]
$\D k(x)=100\,000-2000\cdot x\QDQ$\\[2mm]
$\D E(x)=x\cdot k(x)=100\,000x-2000\cdot x^{2}$\\[2mm]
$E$ hat Nullstellen bei $x_{1}=0$ und $x_{2}=50$, der Scheitel liegt
also bei $x_{0}=25$.\\[2mm]
Maximale Einnahmen: $E(x_{0})=1\,250\,000$\\[2mm]
\rule[0mm]{10mm}{0mm}
\EPS{09rr0612}{5.5cm}{}{
\PSFM{k}{$k$} \PSFM{x}{$\frac{x}{\MEUR}$}  
\PSFM{10}{10} \PSFM{50}{50} \PSFM{100}{$10^{5}$}
 }\hfill
\EPS{09rr0611}{5.5cm}{}{
\PSFM{25}{25} \PSFM{x}{$\frac{x}{\MEUR}$} \PSFM{125}{1,25} 
\PSFM{E}{$\frac{E}{\text{Mill. \EUR}}$} \PSFM{1}{1} \PSFM{05}{0,5}
\PSFM{10}{10} \PSFM{50}{50} 
}\rule[0mm]{10mm}{0mm}

\item[(b)] $\D E(x)=x\cdot k(x)=-ax^{2}+k_{0}x-b=
  -a\left(x-\frac{k_{0}}{2a}\right)^{2}+\frac{k_{0}^{2}}{4a}-b$\\[2mm]
$\D x_{1}=\frac{k_{0}}{2a}=41\frac23\approx 41{,}67$\\[2mm]
$\D E(x_{1})=\frac{k_{0}^{2}}{4a}-b=1\,683\,333$ \\[2mm]

Sinnvolle Definitionsmenge: $k(x)\geqq 0$ bzw. $E(x)\geqq 0$ f"uhrt auf\\[2mm]
$\D 
  -a\left(x-\frac{k_{0}}{2a}\right)^{2}+\frac{k_{0}^{2}}{4a}-b\geqq 0\QDQ
\left|x-\frac{k_{0}}{2a}\right|\leqq\sqrt{\frac{k_{0}^{2}-4ab}{4a^{2}}}$\\[2mm]
$\D \underbrace{\frac{k_{0}-\sqrt{k_{0}^{2}-4ab}}{2a}}_{
      x_{01}\approx 4{,}21\,\MEUR}\leqq x\leqq
    \underbrace{\frac{k_{0}+\sqrt{k_{0}^{2}-4ab}}{2a}}_{
       x_{02}\approx79{,}12\,\MEUR}$,\qquad $\DD=[x_{01},x_{02}]$\\[2mm]
\EPS{09rr0613}{6.5cm}{}{
\PSFM{y}{$k$} \PSFM{x}{$\frac{x}{\MEUR}$}  
\PSFM{10}{\raisebox{-5mm}{10}} \PSFM{20}{\raisebox{-5mm}{20}} 
\PSFM{30}{\raisebox{-5mm}{30}} \PSFM{40}{\raisebox{-5mm}{40}}
\PSFM{50}{\raisebox{-5mm}{50}} \PSFM{60}{\raisebox{-5mm}{60}}
\PSFM{70}{\raisebox{-5mm}{70}} \PSFM{80}{\raisebox{-5mm}{80}}
\PSFM{10000}{\hspace*{-5mm}10\,000} \PSFM{20000}{\hspace*{-5mm}20\,000} 
\PSFM{30000}{\hspace*{-5mm}30\,000} \PSFM{0}{}
\PSFM{40000}{\hspace*{-5mm}40\,000} \PSFM{50000}{\hspace*{-5mm}50\,000} 
 }\hfill
\EPS{09rr0614}{6.5cm}{}{
\PSFM{x}{$\frac{x}{\MEUR}$}
\PSFM{y}{\raisebox{5mm}{$\frac{E}{\text{Mill. \EUR}}$}} \PSFM{1}{1} \PSFM{05}{0,5}
\PSFM{1.5e+06}{1,5} \PSFM{1e+06}{1} \PSFM{5e+05}{0,5} 
\PSFM{10}{\raisebox{-5mm}{10}} \PSFM{20}{\raisebox{-5mm}{20}} 
\PSFM{30}{\raisebox{-5mm}{30}} \PSFM{40}{\raisebox{-5mm}{40}}
\PSFM{50}{\raisebox{-5mm}{50}} \PSFM{60}{\raisebox{-5mm}{60}}
\PSFM{70}{\raisebox{-5mm}{70}} \PSFM{80}{\raisebox{-5mm}{80}}
\PSFM{0}{}
}
\item[(c)] $\D k(x)=k_{\text{g}}(x)+k_{\text{s}}(x)=
  \underbrace{k_{\text{0g}}-ax}_{\text{Geizige}}+
  \underbrace{k_{\text{0s}}-\frac{b}{x}}_{\text{Snobs}}$\\[2mm]
Die Annahme eines linearen Zusammenhangs f"ur die Geizigen f"uhrt auf\\[2mm]
$k_{\text{g}}(50)=k_{\text{0g}}-a\cdot 50=0\QDQ
k_{\text{0g}}=1200\cdot 50=60\,000$\\[2mm]
Mike und seine Frau gehen wohl von 60\,000 Geizigen und 40\,000 Snobs
aus.\\[2mm]
$k_{\text{g}}(x)=\begin{cases}
60\,000-1200\cdot x & \text{f"ur $x\leqq 50$}\\
0 & \text{f"ur $x> 50$}
\end{cases}$\\[2mm]
$\D k_{\text{s}}(x)=k(x)-k_{\text{g}}(x)=\begin{cases}
\D 40\,000-\frac{400\,000}{x} & 
    \text{f"ur $10\leqq x\leqq 50$}\\
\D 100\,000-1200\cdot x -\frac{400\,000}{x}& 
    \text{f"ur $50<x\leqq x_{02}$}
\end{cases}$\\[2mm]
Es zeigt sich eine weitere Einschr"ankung der Definitionsmenge auf
$x\geqq 10$, da ein negatives $k_{\text{s}}(x)$ keinen Sinn ergibt.
\EPSC{09rr0615}{8cm}{}{
\PSFM{y}{\raisebox{5mm}{$k$}} \PSFM{x}{$\frac{x}{\MEUR}$}
\PSFM{kg}{$k_{\text{g}}$} \PSFM{ks}{$k_{\text{s}}$} \PSFM{}{} 
\PSFM{10}{\raisebox{-5mm}{10}} \PSFM{20}{\raisebox{-5mm}{20}} 
\PSFM{30}{\raisebox{-5mm}{30}} \PSFM{40}{\raisebox{-5mm}{40}}
\PSFM{50}{\raisebox{-5mm}{50}} \PSFM{60}{\raisebox{-5mm}{60}}
\PSFM{70}{\raisebox{-5mm}{70}} \PSFM{80}{\raisebox{-5mm}{80}}
\PSFM{90}{\raisebox{-5mm}{90}} \PSFM{0}{}
\PSFM{10000}{\hspace*{-5mm}10\,000} \PSFM{20000}{\hspace*{-5mm}20\,000} 
\PSFM{30000}{\hspace*{-5mm}30\,000} \PSFM{60000}{\hspace*{-5mm}60\,000}
\PSFM{40000}{\hspace*{-5mm}40\,000} \PSFM{50000}{\hspace*{-5mm}50\,000} 
}
Die angenommene K"auferfunktion beschreibt also eine Abnahme der
Kauffreudigkeit der Snobs f"ur einen Preis gr"o"ser als 50\,\EUR.
\end{enumerate}
} 
