\ANG{
"Uber einem Sechseck (alle n"otigen Ma"se sollen der linken Zeichnung
entnommen werden) wird ein gerades Prisma
der H"ohe $h$ 
errichtet und dieses entlang der Ebene $ABD'$ durchgeschnitten
(vgl. rechte Abbildung).
\begin{enumerate}
\item
Begr"unde anhand einer Skizze, da"s $C'$ und $F'$ die H"ohe $h$ halbieren.
\item
Wie gro"s mu"s $h$ sein, damit $[BC']$ so lang ist wie $[AB]$?
(Ergebnis: $h=4\sqrt{2}$) Erkl"are, warum in diesem Fall sogar
alle sechs Seiten des  Sechsecks $ABC'D'E'F'$ 
gleich lang sind? 
\item
Berechne f"ur diesen Fall $\overline{BD'}$ und $\overline{AC'}$.
(Zwischenergebnis: $\overline{AC} = \sqrt{40}$)
\item
Begr"unde ausf"uhrlich mit dem Ergebnis der letzten Teilaufgabe, warum
${\angle{BC'D'}} = {\angle ABC'}$ ist. Erkl"are damit, warum das Sechseck nicht
nur gleichseitig, sondern sogar regul"ar ist.
\end{enumerate}
\begin{minipage}[t]{8cm}
 \beginpicture
     \setcoordinatesystem units <0.7 mm, 0.7mm> point at  0   40
     \setplotarea x from 0 to 80, y from 0 to 40 
     \setdots <0.7mm>
     \grid  {16} {8}
     \setsolid
     \plot 20  0      60   0    80   20  
           60 40      20  40     0   20    20   0   /
     \put {$A$} [Bl] at  20 -5
     \put {$B$} [Bl] at  60 -5
     \put {$C$} [Bl] at  83 20
     \put {$D$} [Bl] at  60 43
     \put {$E$} [Bl] at  20 43
     \put {$F$} [Bl] at  -5 20
     \arrow <2.5mm> [0.375,0.75] from 5  0   to  0  0
     \arrow <2.5mm> [0.375,0.75] from 5  0   to 10  0
     \put {$1$\,LE} [Bl] at 1.5	 3
\endpicture
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{8cm}
 \beginpicture
     \setcoordinatesystem units <0.7 mm, 0.7mm> point at  0   70
     \setplotarea x from 0 to 80, y from 0 to 80 
     %\input  09in078.asc
\setdots <1mm> 
\plot
     60       0  89.01   6.309 /
\plot
  89.01   6.309 78.021  12.618 /
\plot
 78.021  12.618 38.021  12.618 /
\plot
 38.021  12.618   9.01   6.309 /
\plot
   9.01   6.309     20       0 /
\plot
     20  56.568     60  56.568 /
\plot
     60  56.568  89.01  62.877 /
\plot
  89.01  62.877 78.021  69.187 /
\plot
 78.021  69.187 38.021  69.187 /
\plot
 38.021  69.187   9.01  62.877 /
\plot
   9.01  62.877     20  56.568 /
\plot
     20       0     20  56.568 /
\plot
     60       0     60  56.568 /
\plot
  89.01  34.593  89.01  62.877 /
\plot
   9.01  34.593   9.01  62.877 /
\plot
  89.01   6.309  89.01  34.593 /
\plot
 78.021  12.618 78.021  69.187 /
\plot
 38.021  12.618 38.021  69.187 /
\plot
   9.01   6.309   9.01  34.593 /
\setsolid 
\plot
     20       0     60       0 /
\plot
     60       0  89.01  34.593 /
\plot
  89.01  34.593 78.021  69.187 /
\plot
 78.021  69.187 38.021  69.187 /
\plot
 38.021  69.187   9.01  34.593 /
\plot
   9.01  34.593     20       0 /
\put {{$A$} } [Bl] at 
 22.252   1.577
\put {{$B$} } [Bl] at 
 55.252   1.577
\put {{$C$} } [Bl] at 
 91.263   7.886
\put {{$D$} } [Bl] at 
 80.274  14.196
\put {{$E$} } [Bl] at 
 40.274  14.196
\put {{$F$} } [Bl] at 
   3.01   6.309
\put {{$C'$} } [Bl] at 
 91.263   36.17
\put {{$D'$} } [Bl] at 
 80.274  70.764
\put {{$E'$} } [Bl] at 
 40.274  70.764
\put {{$F'$} } [Bl] at 
   3.01  34.593
\put {{$h$} } [Bl] at 
     60      28
\endpicture
\end{minipage}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
 Eine Skizze, in der die Schnittebene projizierend liegt,
liefert die Behauptung mit Hilfe des Strahlensatzes.
\item
Ansatz: $({h\over2})^2+ \overline{BC}^2= 4^2$
\item
$\overline{AC'}=\overline{BD'}=\sqrt{48}$
\item
Die Dreiecke $ABC'$ und $BC'D$ stimmen in drei Seitenl"angen 
"uber\-ein, daher sind die Innenwinkel des Sechsecks bei
$B$ und $C'$ kongruent. Diese "Uberlegungen gelten analog f"ur
alle Innenwinkel.
\end{enumerate}
}
