\ANG{{\bf Fussballverpackung}

Zur Fu"sballweltmeisterschaft hat sich eine Firma f"ur
Kleinbildfilme eine besondere Verpackung ausgedacht: jeweils 4
Filme werden in einer Schachtel verpackt, die an einen Fu"sball
erinnern soll.
\EPSC{09cm003}{14cm}{}{}
(Die beiden Bilder sind aus unterschiedlichen Perspektiven
fotographiert, damit du die Form besser erkennen kannst.)

Wenn du die Verpackung betrachtest, erkennst du Quadrate und
Dreiecke. Die Dreiecke sind rechtwinklig und gleichschenklig. Die
Seitenl"ange eines Quadrats betr"agt 4\,cm. Jeweils drei Dreiecke
bilden eine kleine Pyramide, die nach innen zeigt. Die Verpackung
bekommt dadurch mehr Stabilit"at und sieht auch interessanter aus,
als wenn man nur ein einfaches Dreieck genommen h"atte.

\begin{enumerate}
\item Aus wie vielen Quadraten und Dreiecken besteht die
Verpackung?
\item Berechne die Gr"o"se der Oberfl"ache der Verpackung.
\item Wichtig ist auch, wie viel Platz "uberhaupt in der Verpackung
ist. Die Designer geben an, dass das Volumen (gerundet) 528\,cm$^3$
betr"agt. Bekommst du das auch heraus?
\item Jeder der vier Filme steckt in einem Zylinderf"ormigen
D"oschen (Durchmesser: 3,1\,cm; H"ohe: 5,2\,cm). Wie viel Prozent der
Fu"sballschachtel bleiben leer, wenn die vier Filme eingepackt
sind? Sch"atze zuerst die Prozentzahl und berechne erst danach das
Ergebnis.
\item Ein Fotogesch"aft hat die Preise f"ur die Filme in der
Fu"sballschachtel reduziert von 6,99\,\EUR{} auf 5,99\,\EUR{} 
(vgl. Abb.). Wie viel Prozent Preiserm"a"sigung sind das?
\item Zur gleichen Zeit kann man in demselben Fotogesch"aft die
gleichen Filme in einer normalen Schachtel als Zweierpack kaufen.
Ein Zweierpack kostet 1,99\,\EUR. Wie viel Prozent k"onnte
man gegen"uberder Fussballverpackung zun 5,99\,\EUR{} sparen,
wenn man 2 Zweierpacks kauft?
\end{enumerate}}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $5+5+8=18$ Quadrate, $8\cdot 3=24$ Dreiecke
\item $\D 18\cdot (4\,\mbox{cm})^2+24\cdot
  \left(\frac{\mbox{4\,cm}}{\sqrt{2}}\right)^2\cdot\frac12= 
  288\,\mbox{cm}^2+96\,\mbox{cm}^2=384\,\mbox{cm}^2$
\item Volumen der Verpackung:\\
$\D V_{\mathrm{Verpack}}=\left[4^3+6\cdot 4^2\cdot\frac{4}{\sqrt{2}}+
  12\cdot\left(\frac{4}{\sqrt{2}}\right)^2\cdot\frac12\cdot 4\right]\,
  \mathrm{cm^3}=527{,}53\,\mathrm{cm^3}$
\item Volumen der 4 Dosen: $\D V_{\text{Dosen}}= 
4\cdot\left[\left(\frac12\cdot 3{,}1\,\mbox{cm}\right)^2\pi\right]\cdot
5{,}2\,\mbox{cm}\approx 157\,\mbox{cm}^3$\\
Also werden $30\%$ der Verpackung ausgef"ullt.
\item $14,3\%$
\item $33,6\%$
\end{enumerate}
}
