\ANG{
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%Irrationalit"atsnachweis einer Zahl
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Vermutung: Ist eine positive Zahl irrational, so ist auch ihre Quadratwurzel irrational. \\ \\
Beispiel: $\sqrt 2$ ist irrational. Dann ist auch diejenige Zahl x irrational,
die mit sich selbst multipliziert $\sqrt 2$ ergibt: $x^2 = \sqrt 2$.
\begin{enumerate}
\item Bringe die Vermutung in die Wenn-Dann-Form.
\item Beweise sie über einen Widerspruch.
\item Formuliere die Umkehrung in Wenn-Dann-Form.
\item Zeige, dass die Umkehrung nicht gilt.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Wenn eine positive Zahl irrational ist, dann ist auch ihre Quadratwurzel irrational.
\item
$\D \left( \frac p q \right)^2 = \sqrt 2 \qquad$, p und q teilerfremd, der Bruch ist also vollständig gekürzt.\\ \\
$\D \left( \left( \frac p q \right)^2 \right)^2 = 2 \qquad$, beide Seiten quadriert.\\ \\
$\D \frac {p^4} {q^4} = 2 \qquad$, Potenzgesetze angewendet. \\ \\
$p^4 = 2 \cdot q^4 \qquad$, mit $q^4$ durchmultipliziert. \\ \\
p muss also den Primfaktor 2 enthalten, damit die Gleichung gelten kann.\\ \\
Wenn p den Primfaktor 2 enthält, dann enthält $p^4$ diesen gleich viermal. \\ \\
Damit die Gleichung gilt, muss der Primfaktor 2 auch viermal auf der rechten Seite vorhanden sein. \\ \\
Also muss auch q den Primfaktor 2 enthalten. \\ \\
Widerspruch zur Annahme, dass p und q teilerfremd sind.\\ \\
x kann also keine rationale Zahl sein.
\item
Wenn die Quadratwurzel einer Zahl irrational ist, dann ist es die Zahl selbst auch.
\item
Gegenbeispiel: $\sqrt 5$ ist irrational, 5 jedoch nicht. 
\end{enumerate}

}
