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\ANG{
{\bf Kartonformen}

In Deutschland werden bestimmte Papiergr"o"sen nach der DeutschenIndustrieNorm 
(DIN) bezeichnet. F"ur DIN-A Formate von Papier gelten folgende Bedingungen: 
\begin{itemize}
\item Die Rechtecke sind einander "ahnlich.
\item Durch Halbieren der l"angeren Seite erh"alt man das n"achstkleinere 
DIN-A Format.
\item Ein Rechteck des Formats DIN-A 0 ist $1\,\mathrm{m^{2}}$ gro"s.
\end{itemize}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{15im017p1} 
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Bestimme den Verkleinerungsfaktor, den man am Fotokopierer einstellen 
muss, um ein DIN-A4 Blatt auf DIN-A5 zu verkleinern.
\item Gib den Faktor für das Verkleinern von DIN-A2 auf DIN-A3 an.
\item Eine Fabrik stellt aus DIN-A4 Pappst"ucken oben offene quaderf"ormige 
Pappk"asten mit maximalem Volumen her (siehe Abbildung). Dabei wird an jeder 
Ecke ein Quadrat als Klebefalz benutzt. Berechne: Den wie vielfachen Rauminhalt h"atte 
ein solcher Kasten aus DIN-A3 Papier?

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{15im017p2} 
\end{center}

\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item F"ur das DIN-A4 Blatt betr"agt das Seitenverh"altnis $a : b$, f"ur das Blatt 
DIN-A5 betr"agt es $b:\frac{a}{2}$. Also gilt: $\frac{a}{b}=\frac{2\cdot b}{a}
\Rightarrow a^{2}=2b^{2}$. Das Seitenverh"altnis $a : b$ betr"agt also 
$\sqrt{2}:1$.\\
Der Fl"acheninhalt wird halbiert, also wird jede Seitenl"ange (und darauf 
bezieht sich die eingestellte Zahl) um den Faktor $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 
70,71\%$ gek"urzt.
\item
\item Auf anschaulichem Niveau: Klar, die Schachteln sind "ahnlich zueinander. 
Jede Seitenl"ange wird mit dem Faktor $\sqrt{2}$ gestreckt, also vervielfacht 
sich das Volumen um den Faktor $\sqrt{8}$.
\end{enumerate}
}
