\ANG{
\begin{enumerate}
\item
Anna und Leon sollen als Hausaufgabe die Koordinaten des Scheitels der Parabel bestimmen, die der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion
$f: x \mapsto 2x^2 + 3x +1$ ist. Sie beginnen mit unterschiedlichen Lösungsansätzen:\\
\begin{tabular}{p{7cm}p{7cm}}
\underline{Anna} & \underline{Leon} \\
\EPSBASIS{09mz0921KE02_1a}{7cm}{}
&
\EPSBASIS{09mz0921KE02_1b}{7cm}{} \\
... & ...
\end{tabular} \\
Führe beide Vorgehensweisen zu Ende und ermittle damit jeweils die gesuchten Koordinaten des Scheitels. \\
Bestimme außerdem den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse und skizziere den Graphen anhand der bisherigen Ergebnisse ohne weitere Berechnungen in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem. 
\item Ermittle die Koordinaten des Scheitels des Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g: x \mapsto -0,5x^2+2x-1$.
\end{enumerate}
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item Anna und Leon:\\
\begin{tabular}{p{7.4cm}p{7.4cm}}
\underline{Anna} & \underline{Leon} \\ 
$f(x) = 2 \cdot \left(x^2+\frac 3 2 x + \frac 1 2 \right) =$
&$2x^2+3x+1=0$ \\
$2\cdot \left(x^2+ \frac 3 2 x + \left(\frac 3 4 \right)^2 - \left(\frac 3 4 \right)^2 + \frac 1 2 \right) =$
&$x_{1/2} = \dfrac {-3 \pm \sqrt{9-4\cdot 2}} 4 = \dfrac {-3 \pm 1} 4$ \\
$2 \cdot \left( \left( x+ \frac 3 4\right) - \frac 9 {16} + \frac 1 2 \right) = $
&$x_1 = -1 \qquad x_2 = -\frac 1 2$ \\
$2 \cdot \left( \left( x+ \frac 3 4\right) - \frac 9 {16} + \frac 8 {16}\right) =$
&Für die x-Koordinate des Scheitelpunkts \\
$2 \cdot \left( \left( x+ \frac 3 4\right) - \frac 1 {16} \right) =$
&gilt somit: $x_S = \frac 1 2 \cdot \left( \left(-1\right)+\left(-\frac 1 2\right) \right) = -\frac 3 4$\\
$2 \cdot \left(x+\frac 3 4\right)^2 - 2 \cdot \frac 1 {16} = $
& Berechnung der y-Koordinate des Scheitels: \\
$2 \cdot \left(x + \frac 3 4 \right)^2-\frac 18$
&$y_S = f\left(-\frac 3 4 \right)=2 \cdot \left(-\frac 3 4\right)^2+3\cdot\left(-\frac 3 4\right)+1=-\frac 1 8$
\end{tabular}\\
Somit gilt: $S\left(-\frac 3 4|-\frac 1 8\right)$
\item 
$g(x) = -0,5x^2 +2x - 1 = -0,5 \cdot \left(x^2-4x+2 \right)
=-0,5 \cdot \left(x^2 4x + 4 - 4 + 2 \right) =$ \\
$-0,5 \cdot \left( \left(x-2\right)^2-2\right)=-0,5\,\left(x-2\right)^2+1$,
somit gilt: $S\left(2|1\right)$.\\
\textit{Alternativer Lösungsweg}: \\
$-0,5x^2+2x-1=0$ \\
$x_{1/2}=\dfrac{-2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\cdot\left(-0,5\right)\cdot \left(-1\right)}}{2\cdot \left(-0,5\right)} \Leftrightarrow $\\
$x_1 = \dfrac {-2+\qrt 2}{-1} = 2 - \sqrt 2, \qquad x_2 = \dfrac{-2-\sqrt 2}{-1} = 2 + \sqrt 2$ \\
Somit gilt: $x_S =2$ und $y_2=f\left(2\right)=-0,5 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 -1 = 1$, also $S\left(2|1\right)$.
\end{enumerate}
}