\ANG{
Die auf den Kärtchen beschriebenen Probleme können jeweils durch Untersuchung einer geeigneten Funktion gelöst werden.\\
\EPSBASIS{09mz0922KE03_2a}{15cm}{}\\
Zur Lösung der Probleme stehen die folgenden Terme zur Auswahl.\\ \\
\begin{tabular}{p{4cm}p{4cm}}
(1) $x \cdot \left(x-5\right)$ & (4) $-x \cdot \left(x-5\right)$ \\
(2) $x \cdot \left(x+5\right)$ & (5) $-x \cdot \left(x+5\right)$ \\
(3) $x \cdot \left(5-x\right)$ & (6) $-x \cdot \left(5-x\right)$ \\
\end{tabular}
}
\begin{enumerate}
\item Gib für jeden der Terme an, ob der Graph der zugehörigen in $\mathbb{R}$ definierten Funktion im Scheitelpunkt einen maximalen oder einen minimalen Wert annimmt.
\item Wähle für jedes der drei Probleme einen passenden Term aus. Begründe jeweils deine Wahl und gib jeweils einen zur Problemstellung passenden Definitionsbereich der zugehörigen Funktion an. 
\item Löse Problem 3 anhand der in Teilaufgabe b hierfür ausgewählten Funktion.
\end{enumerate}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Minimaler Funktionswert im Scheitelpunkt: $f_1$, $f_2$ und $f_6$; \\
maximaler Funktionswert im Scheitelpunkt: $f_3$, $f_4$ und $f_5$.
\item \underline{Problem 1}: $f_3\left(x\right) = x \cdot \left(5-x\right)$ \\
Begründung: Bezeichnet man eine Seitenlänge des Rechtecks mit x, so berechnet sich die Länge der anderen Seite durch $\frac 1 2 \cdot \left(10-2x\right) = 5-x$. Der Term $f_3\left(x\right) = x \cdot \left(5-x\right)$ beschreibt dann den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit von x.\\
Passender Definitionsbereich: $\left]0;5\right[$.\\
\underline{Problem 2}: $f_4\left(x\right)=-x \cdot \left(x-5\right)$ \\
Begründung: Der Term $f_4\left(x\right)=-x \cdot \left(x-5\right)$ ergibt sich aus den vorgegebenen Nullstellen sowie der Öffnungsrichtung der Normalparabel, er liefert die y-Werte der Parabelpunkte in Abhängigkeit von x.\\
Passender Definitionsbereich: $\mathbb{R}$.\\
\underline{Problem 3}: $f_2\left(x\right) = x \cdot \left(x+5\right)$ oder $f_1\left(x\right)=x \cdot \left(x-5\right)$\\
Begründung: Bezeichnet man die kleinere der beiden Zahlen mit x, so lautet die zweite Zahl $x+5$ und der Term $f_2\left(x\right)= x \cdot \left(x+5\right)$ gibt den Wert des Produkts in Abhängigkeit von x an. (Entsprechend ergibt sich der Term $f_1\left(x\right) = x \cdot \left(x-5\right)$, wenn man mit x die größere der beiden Zahl bezeichnet.)
\\
Passender Definitionsbereich: $\mathbb{R}$.
\item $f_2\left(x\right)=x \cdot \left(x+5\right)$\\
Die Funktion besitzt die Nullstellen $x_1=-5$ und $x_2=0$. Der Scheitelpunkt der zugehörigen Parabel hat aufgrund der Symmetrie die x-Koordinate $2,5$. Da die Parabel nach oben geöffnet ist, nimmt Funktionswert $f_2\left(x\right)$ und somit das Produkt der beiden Zahlen für $x=-2,5$ den kleinsten Wert an. Die gesuchten Zahlen lauten also $-2,5$ und $2,5$.

\end{enumerate}
}