\ANG{
In den Abbildungen siehst du die Graphen zweier in $\mathbb{R}$ definierter quadratischer Funktionen f und g. Die Koordinaten der markierten Punkte sind ganzzahlig.\\ \\
\EPSBASIS{09mz0922KE01_2a}{14cm}{}
\begin{enumerate}
\item Ermittle anhand der markierten Punkte rechnerisch einen Funktionsterm der Funktion f.
\item Begründe, dass ein zur Funktion g passender Funktionsterm nicht unter ausschließlicher Verwendung der Koordinaten der markierten Punkte bestimmt werden kann.
\item Gib eine zusätzliche Information an, die du dem Graphen von g entnehmen kannst, um mit möglichst geringem Rechenaufwand einen zugehörigen Funktionsterm ermitteln zu können und bestimme den Funktionsterm, der sich damit ergibt, in ausmultiplizierter Form.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f\left(x\right) = a x^2 + b x + c$\, mit \,$a,b,c \in \mathbb{R}$ \\
Markierte Punkte: $\left(0|0\right),\left(1|2\right),\left(4|3\right)$ \\
Einsetzen der Koordinaten liefert: \\ \\
\begin{tabular}{p{1.75cm}p{6cm}}
(I) & $c=0$ \\
(II) & $a+b+c=2$ \\
(III) & $4^2 \cdot a + 4 \cdot b = 3$ \\
I in II: &$a+b=2 \Leftrightarrow b = 2-a$ (II*)\\
II* in III: & $16a+4 \cdot \left(2-a\right) = 3$\\
& $16a+8-4a=3$ \\
& $12a=-5$ \\
& $a=-\frac 5 {12}$ \\
in II* & $b=2-\left(-\frac 5 {12}\right)=\frac{29}{12}$ \\
Somit gilt:& $f(x) = -\frac 5 {12} x^2 + \frac{29}{12} x$
\end{tabular}
\item 
Die beiden markierten Punkte liefern lediglich zwei Gleichungen. Damit können die drei Parameter ausgehend vom Ansatz $g(x) = a x^2 +bx + c$ nicht eindeutig bestimmt werden.
\item 
Man kann beispielsweise als Zusatzinformation verwenden, dass es sich bei dem markierten Punkt $\left(4|-2\right)$ um den Scheitelpunkt der Parabel handelt. Damit hat der Funktionsterm von g die Form 
$g(x)=a \cdot \left(x-4\right)^2-2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Einsetzen 
der Koordinaten des zweiten markierten Punkts $\left(2|0\right)$ liefert:\\
$a\cdot\left(-2\right)^2-2=0\Leftrightarrow 4a = 2 \Leftrightarrow a = \frac 1 2$. \\
Also gilt $g(x) = \frac 1 2 \cdot \left(x-4\right)^2-2$, bzw. in ausmultiplizierter Form $g(x)=\frac 1 2 x^2-4x+6$.
\end{enumerate}
}