\ANG{
Von 10\,000 Touristen, die Transsylvanien besuchen, stecken sich im Mittel acht mit dem
Draculvirus an, die Ansteckungsrate ist also $a=8\cdot 10^{-4}$. Herr Helsing
unterzieht sich nach seinem Transsyslvanien-Urlaub 
einem medizinischen Test. Dieser Test erkennt 98\,\% der Infizierten und weist
somit $f_{1}=2\,\%$ der Infizierten f"alschlicherweise als gesund aus. Andererseits
werden $f_{2}=3\,\%$ der nichtangesteckten Untersuchten f"alschlicherweise als
infiziert eingestuft. Herrn Helsings Test f"allt positiv aus, d.h. er zeigt
an, dass er infiziert ist.
\begin{enumerate}
\item Sch"atze zuerst, in welchem Bereich die Wahrscheinlichkeit $p$ liegt,
  dass Herr Helsing tats"achlich vom Draculvirus befallen ist:
\[\text{kleiner als 10\,\%,\quad zwischen 10\% und 90\,\%,\quad
  gr"o"ser als 90\,\%}\]
\item Berechne jetzt die Wahrscheinlichkeit $p$, dass Herr Helsing tats"achlich vom
  Draculvirus befallen ist. F"ulle zun"achst folgende Vierfeldertafel aus, die
  von einer Million getesteter Transsylvanien-Urlauber ausgeht:
  \begin{center}\renewcommand{\arraystretch}{2}
    \begin{tabular}[t]{c|p{3cm}|p{3cm}|p{3cm}}
      absol. H"auf. & Gesunde & Kranke &  \\\hline
      positiv getestet& & & \\\hline
      negativ getestet& & & \\\hline
       & & & $n=1\,000\,000$
    \end{tabular}\renewcommand{\arraystretch}{1}
  \end{center}
  
\item In einer anderen Urblaubssaison ist die Ansteckungsrate $a$ zun"achst
  unbekannt. Es werden $n=2000$ Transsylvanienurlauber gestestet und davon
  erweisen sich $z=155$ Personen als positiv. Berechne zun"achst $a$ und dann
  wieder die Wahrscheinlichkeit $p$, dass ein als positiv Getesteter
  tats"achlich erkrankt ist.
  
\end{enumerate}
}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
\item Die meisten Sch"atzungen liegen bei $p>90\,\%$.
\item \parbox[t]{5cm}{
Zahl der Erkrankten:
\[a\cdot n=800\]
\[2\%\cdot 800=16\]
\[3\%\cdot 999\,200=29\,976\]
}\hfill\parbox[t]{8cm}{
  \begin{tabular}[t]{c|r|r|r}
      absol. H"auf. & Gesunde & Kranke &  \\\hline
      positiv &29\,976 &784 &30\,760 \\\hline
      negativ &969\,224 &16 &969\,240 \\\hline
       &999\,200 &800 & 1\,000\,000\\
    \end{tabular}}\\[1mm]
\EPSR{7cm}{08rr042L}{6cm}{}{
\PSFM{n}{1\,000\,000} \PSFM{g}{g} \PSFM{k}{k} \PSFM{p}{$+$} 
\PSFM{m}{$-$} \PSFM{z1}{800} \PSFM{z2}{999\,200} \PSFM{z3}{784} 
\PSFM{z4}{16} \PSFM{z5}{29\,976} \PSFM{z6}{969\,224}  
}{
Von den insgesamt 30\,760 positiv Getesteten sind nur 784 tats"achlich krank
$\DANN$
\[p=\frac{784}{30\,760}=2{,}55\,\%\]
}
\item
Mit $a=0{,}0008$, $f_{1}=2\,\%$ und  $f_{2}=3\,\%$ gilt
\begin{center}
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c}
      absol. H"auf. & Gesunde & Kranke &  \\\hline
      positiv &$0{,}03\,(1-a)n$ &$0{,}98\,an$ & $(0{,}03+0{,}95a)n$\\\hline
      negativ &$0{,}97\,(1-a)n$ &$0{,}02\,an$ & $(0{,}97-0{,}95a)n$\\\hline
       & $(1-a)n$ & $an$ & $n$\\ 
    \end{tabular}
\end{center} 
\[z=(0{,}03+0{,}95a)n\]
\[a=\frac{\frac{z}{n}-0{,}03}{0{,}95}=\frac{0{,}0475}{0{,}95}=0{,}05=5\,\%\]
\EPSR{7cm}{08rr042L2}{6cm}{}{
\PSFM{y}{$p$} \PSFM{x}{$a$} \PSFM{0.0}{0} \PSFM{0.1}{} \PSFM{0.2}{0,2}
\PSFM{0.3}{} \PSFM{0.4}{} \PSFM{0.5}{0,5} \PSFM{0.6}{} \PSFM{0.7}{}
\PSFM{0.8}{} \PSFM{0.9}{} \PSFM{1.0}{1}  
}{
Von den insgesamt $(0{,}03+0{,}95a)n$ positiv Getesteten sind nur 
$0{,}98\,an$ tats"achlich krank $\DANN$
\[p(a)=\frac{0{,}98\,an}{(0{,}03+0{,}95a)n}=
   \frac{98a}{3+95a}\] 
\[p(0{,}05)=63{,}2\,\%\]
}
\end{enumerate}
}
