\ANG{
Eine mögliche Vorgehensweise zur Vereinfachung von Produkten und Quotienten mit Wurzeln und Brüchen ist: \\ 

A. Wandle alle Faktoren in Potenzschreibweise um. \\
B. Vereinfache mit Hilfe der Potenzgesetze. \\
C. Wandle die Faktoren zurück in die Wurzel- und Bruchschreibweise. 
\\ (Alle Variablen sind nur auf $\mathbb{R}^+$ definiert.) \\ \\
Beispiel: $\sqrt[3]{z\cdot \sqrt[4]{\D\frac{1}{z}}}={{\left( z\cdot {{\left( {{z}^{-1}} \right)}^{\frac{1}{4}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{\left( {{z}^{1}}\cdot {{z}^{-\frac{1}{4}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{\left( {{z}^{\frac{3}{4}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}={{z}^{\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}}}={{z}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{z}$ \\ \\
Vereinfache folgende Terme auf die gleiche Weise. \\ \\
(1) $\D\frac{\sqrt[5]{x{}^{4}}}{\mathop{^{\sqrt[5]{x}}}^{4}} \qquad \qquad \qquad$ 
(2) $\D\frac{\sqrt{9{{x}^{4}}}}{\sqrt[3]{8{{x}^{-6}}}} \qquad \qquad \qquad$
(3) $\sqrt[3]{27{{c}^{6}}}\cdot {{\left( {{c}^{0,6}} \right)}^{-\frac{10}{3}}}$
    

}\LSG{ 
(1) $\D\frac{\sqrt[5]{x{}^{4}}}{\mathop{^{\sqrt[5]{x}}}^{4}}=\D\frac{{{x}^{\tfrac{4}{5}}}}{{{x}^{\tfrac{4}{5}}}}=1$ \\ \\
(2) $\D\frac{\sqrt{9{{x}^{4}}}}{\sqrt[3]{8{{x}^{-6}}}}=\D\frac{{{\left( {{3}^{2}}\cdot {{x}^{4}} \right)}^{\tfrac{1}{2}}}}{{{\left( {{2}^{3}}\cdot {{x}^{-6}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}}=\D\frac{{{3}^{1}}\cdot {{x}^{2}}}{{{2}^{1}}\cdot {{x}^{-2}}}=3\cdot {{x}^{2}}\cdot {{2}^{-1}}\cdot {{x}^{2}}=\tfrac{3}{2}\cdot {{x}^{4}}$
\\ \\
(3) $\sqrt[3]{27{{c}^{6}}}\cdot {{\left( {{c}^{0,6}} \right)}^{-\frac{10}{3}}}={{\left( {{3}^{3}}\cdot {{c}^{6}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}\cdot {{\left( {{c}^{\tfrac{6}{10}}} \right)}^{-\tfrac{10}{3}}}={{3}^{1}}\cdot {{c}^{2}}\cdot {{c}^{-\tfrac{6}{10}\cdot \tfrac{10}{3}}}=3{{c}^{2}}\cdot {{c}^{-2}}=3$
}
