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\ANG{
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{17im007p1} 
\end{center}

Oben abgebildet siehst du ein Dreieck, dass in ein Quadrat "`eingepasst"' 
wurde.
\begin{enumerate}
\item Mache m"oglichst viele (mindestens $5$) mathematische Aussagen "uber die 
Figuren (z.B. "uber Fl"acheninhalte, Winkel,\dots).
\item Verschiebe den Punkt $C$ auf der H"ohenlinie $h$ so, dass das entstehende 
Dreieck $\bigtriangleup ABC'$ gleichseitig ist. Gib einen Term für die Höhe $h'$ des Dreiecks $\bigtriangleup ABC'$ an.
\item Gib den Anteil der Fläche des Dreiecks $\bigtriangleup ABC'$ an der Fläche des gesamten Quadrates an.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Z.\ B.\ Das Dreieck $\triangle ABC$ ist gleichschenklig. Die Fl"ache des Dreiecks halbiert die Fl"ache des Quadrats. 
Im Dreieck $\triangle ABC$ gilt $\alpha=\beta$. $h$ ist Symmetrieachse von $\triangle ABC$ und vom Quadrat. Das Quadrat hat $4$ Symmetrieachsen.
\item \begin{itemize}
\item Das Dreieck ist gleichseitig, also sind alle Winkel $60^{\circ}$ und es 
gilt $\tan60^{\circ}=\frac{2h'}{a}$. Wegen $\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$ folgt: 
$h'=\frac{a}{2}\sqrt{3}$.
\item Eine weitere L"osungsm"oglichkeit: Die Kantenl"ange des Quadrats ist $a$. 
Dann soll f"ur das Dreieck laut Pythagoras gelten: $(\frac{1}{2}a)^{2} + h'^{2} 
= a^{2}$. Daraus folgt dann die L"osung f"ur $h'$.
\end{itemize}
\item $A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot a\cdot \frac{a}{2}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \approx 0,43 a^2 \Rightarrow 43\%$
\end{enumerate}
}
