\ANG{
Zwei K"orper, welche den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks vom Scheitel
des rechten Winkels aus mit den Geschwindigkeiten 8\,cm bzw.~6\,cm pro
Sekunde in entgegengesetzter Richtung durchlaufen, begegnen sich nach 9 
Sekunden. Ein Kathete des Dreiecks ist außerdem um 17 \, cm länger als die andere.
Ermittle alle Seitenlängen des Dreiecks.
}
\LSG{ 
Insgesamt von beiden Körpern während einer Sekunde zurückgelegte Strecke: $8 + 6 = 14$ \\ \\
In neun Sekunden insgesamt zurückgelegte Strecke: $14 \cdot 9 = 126$ \\ \\
Länge der kürzeren Kathete: $x$ \\ \\
Länge der längeren Kathete: $x+17$ \\ \\
Länge der Hypothenuse: $\sqrt{x^2 + \left(x+17\right)^2} = \sqrt{2 x^2 + 34 x + 289}$ \\ \\
Länge des Umfangs: $126 = x + x + 17 + \sqrt{2 x^2 + 34 x + 289}$ \\ \\
Lösen der Gleichung: \\ \\
$126 - 17 - 2x = \sqrt{2 x^2 + 34 x + 289}$ \\ \\
$109 - 2x = \sqrt{2 x^2 + 34 x + 289}$ \\ \\
$(109 - 2x)^2 = 2 x^2 + 34 x + 289$ \\ \\
$4x^2-436x+11881 = 2x^2 + 34 x + 289$ \\ \\
$2x^2-470x+11592=0$ \\ \\
$x_1 = 28 \qquad x_2 = 207$ \\ \\
Da 207 größer als der Umfang ist, kommt nur 28 in Frage.
Lösung: $28\,cm; 45\,cm; 53\,cm$ 
}
