\ANG{
%
%Pythagoras; Vermessungsaufgaben im weiteren Sinne
%
\begin{minipage}[t]{16cm}
Ein Beobachter $B$ befindet sich in der H"ohe $h$ "uber der
Erdoberfl"ache. Die Erde wird dabei als ideale Kugel vom Radius
$R=6370\,{\rm km}$ betrachtet.
\begin{enumerate}
\item Ergänze untenstehende Skizze zu einem rechtwinkligen Dreieck.
\item   Zeige anhand untenstehender Skizze, dass f"ur die Sichtweite $s$
        bis zum Horizont $H$ des Beobachters die Beziehung 
        $s=\sqrt{h\cdot (2R+h)}$ gilt.
\item   Gib die Entfernung in Kilometern an, die man vom Gipfel der Zugspitze ins 2500\,m tiefer gelegene bayerische
  Land hinausschauen kann.
\item Ein Matrose sitzt auf hoher (und ruhiger) See im Ausguck eines Schiffes 
$25 \, \rm m$ "uber dem Wasser. Berechne die Entfernung (Luftlinie), bei der er
fr"uhestens einen auf einer Schiffsplanke treibenden Schiffsbrüchigen sehen kann.
\item Berechne die Entfernung, bei der er frühestens einen ebenfalls im Ausguck
eines Schiffes befindlichen anderen Matrosen sehen kann.
\end{enumerate}
  \end{minipage}

\hspace{5mm}
\raisebox{-6cm}{\begin{minipage}[t]{7cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <4.8mm,4.8mm>
\setplotarea x from 0 to 14, y from 0 to 14
\setdashesnear <5pt> for <40mm>
\plot 8 2  8 10 /
\setsolid
\linethickness0.5mm
\putrule from 8 10 to 8 12 
\plot 8 12  1 6.7 /
\circulararc 90 degrees from 10 9.7 center at 8 2
\put {R} at 8.5 6.5
\put {s} at 5.2 10.7
\put {B} at 8.5 12.2
\put {h} at 8.5 11
\put {H} at 2.5 9
\unitlength1pt
\put {\circle*{2.5}} [Bl] at 8 12
\put {\circle*{2.5}} [Bl] at 8 10
\put {\circle*{2.5}} [Bl] at 8 2
\put {\circle*{2.5}} [Bl] at 3.1 8.3
\endpicture
\end{minipage}}
}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
\item Verbinde den Punkt H mit dem Erdmittelpunkt. Dann ergibt sich bei H ein rechter Winkel.
\item 
$\left( R + h \right)^2 = s^2 + R^2$ \\ \\
$R^2 + 2 \cdot R \cdot h + h^2 = s^2 + R^2$ \\ \\
$2 R h + h^2 = s^2$ \\ \\
$h \cdot \left(2 R + h \right) = s^2$ \\ \\
$s = \sqrt{h \cdot \left(2 R + h\right)} \qquad \checkmark$
\item Etwa $180\,$ km.
\item Etwa $17,8\,$ km.
\item Etwa $35,6\,$ km.
\end{enumerate}
}
