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\ANG{
{\bf Buchstaben-Geometrie }

Einige Buchstaben sind hervorragende Repr"asentanten f"ur die Geometrie. Schauen 
wir uns z.B. den Buchstaben N an - er besteht aus zwei senkrechten Linien und 
einer schr"agen Linie. Der Buchstabe ist ca. doppelt so hoch wie breit. Wir 
nehmen eine Breite von $5\,\mathrm{cm}$ an. Damit betr"agt die H"ohe $10\,\mathrm{cm}$.
\begin{enumerate}
\item Buchstabe N
\begin{enumerate}
\item 
Wenn wir uns vorstellen, dass die linke senkrechte Linie sich nicht 
bewegt, w"ahrend sich die rechte senkrechte Linie von der feststehenden Linie 
fortbewegt - wie weit muss diese Linie verschoben werden, damit sich die L"ange 
der schr"agen Linie (siehe Abbildung) verdoppelt?

\begin{center}
\includegraphics[width=14cm]{17im010p1} 
\end{center}

\item Wenn wir die senkrechte Linie weiter parallel verschieben, so dass 
sich die L"ange der schr"agen Linie wiederum verdoppelt (d.h. eine 
Vervierfachung im Vergleich zur urspr"unglichen Linie) - muss die Linie dann im 
Vergleich zur ersten Verschiebung um mehr oder um weniger verschoben werden?
\end{enumerate}

\item Buchstabe A
\begin{enumerate}

\item 
Schauen wir uns jetzt einmal den Buchstaben A an - er besteht aus zwei 
schr"agen Linien und einem Querstrich. Wir nehmen an, dass der Winkel zwischen 
den beiden Schr"aglinien $30^{\circ}$ betr"agt. Wenn wir uns jetzt vorstellen, 
dass die beiden "`losen"' Enden der beiden Schr"aglinien mit einer geraden 
Linie verbunden werden, so bilden diese ein Dreieck (siehe Abbildung). Der 
Querstrich des Buchstaben A teilt das Dreieck in zwei Bereiche. Wir zeichnen 
eine Hilfslinie in Form einer Senkrechten vom h"ochsten Punkt zur Grundlinie.
\item Wenn wir den unteren Punkt der Hilfslinie mit $0\%$ bezeichnen und den 
obersten Punkt mit $100\%$, bei welchem Prozentsatz muss dann der Querstrich 
die Hilfslinie schneiden, wenn die beiden Fl"achen (geteilt durch den 
Querstrich des A's) gleich gro"s sein sollen?
\item Wie lang ist der Querstrich in diesem Fall?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Ausgehend vom Satz des Pythagoras muss die L"ange der Diagonalen 
$\sqrt{125}\,\mathrm{cm}$ betragen. Das Doppelte hiervon ist 
$\sqrt{500}\,\mathrm{cm}$. Die L"ange der senkrechten Linie ist unver"andert 
$10\,\mathrm{cm}$ und damit $100$, wenn sie quadriert wird. Die Breite zum 
Quadrat muss daher $400$ sein, wenn die Summe $500$ betragen soll. Die 
Quadratwurzel aus $400$ ist $20$, d.h. die neue Breite ist also $15\,\mathrm{cm}$ 
gr"o"ser als vorher.
\item Die Verdopplung entspricht in diesem Fall einer schr"agen Linie mit der 
L"ange $\sqrt{2000}\,\mathrm{cm}$, und da die L"ange der senkrechten Linie 
unver"andert ist, muss die Breite des Buchstabens $\sqrt{900}\,\mathrm{cm} = 
43,6\,\mathrm{cm}$ sein, was einer Vergr"o"serung um ca. $23,6\,\mathrm{cm}$ 
entspricht.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Wenn wir die L"ange der senkrechten Linie als $1$ definieren, muss die 
Fl"ache des gro"sen Dreiecks (das ganze A) sein: A (gro"ses Dreieck) 
$= \frac{1}{2} \cdot \tan 15^{\circ} \cdot 1 \cdot 2 = \tan 15^{\circ}$. Der 
Querstrich soll nun entsprechend der H"alfte der Fl"ache des As platziert 
werden. Wenn wir die L"ange der Linie, die von der Spitze des As rechtwinklig 
zum Querstrich verl"auft, $b$ nennen, ist die Fl"ache des Dreiecks "uber dem 
Querstrich: A (kleines Dreieck) $= \frac{1}{2} \cdot b \cdot b \cdot 
\tan 15^{\circ} \cdot 2 = b^{2}  \tan 15^{\circ}$. Dies soll gleich 
$\frac{1}{2} \cdot \tan 15^{\circ}$ sein, weshalb $b = \sqrt{0,5} \approx 0,707$ 
entsprechend $70,7\%$ ist, oder $29,3\%$, von unten nach oben gemessen.
\item Die L"ange der Querlinie betr"agt: $L = 2 \cdot \sqrt{0,5} \cdot 
\tan 15^{\circ} \approx 0,379$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{tiny}
Quelle: Fich, O.: Mathelogik
\end{tiny}

}
