\ANG{
%
%%\item
%
%\begin{minipage}[t]{7cm}
\EPSR{7cm}{10in082}{7cm}{}{}{
Beim ''R"uckw"artseinschneiden'' werden die Koordinaten des Standorts $P$ durch
Winkelpeilung zu drei trigonometrischen Punkten $A$, $B$ und $C$ bestimmt.

Im folgenden wird  $A$ als 
Koordinatenursprung) benutzt (Einheit $1$m):
$A(0|0)$, ${B(2188{,}12|-815{,}88)}$, $C(402{,}26|403{,}66)$.

Gemessen werden $\alpha = {\angle} APC=42{,}1^0$ und $\beta=\angle CPB=24{,}4^0$.
}%\end{minipage}
%\hskip 5mm
%\raisebox{4mm}{
%\begin{minipage}[t]{7cm}
%\BILD{j10}{10in082.pcx}
%\end{minipage}}

\begin{enumerate}
\item
Die Gerade $PC$ schneidet den Umkreis des Dreiecks $ABP$ im Punkt $Q$.
Fertigen Sie eine Skizze und bestimmen Sie ohne Rechnung die Winkel 
$\angle QAB$ und $\angle ABQ$.
\item
Berechnen Sie den Winkel zwischen der Halbgeraden $[AB$ und der x-Achse sowie
die Entfernung  $\overline{AB}$. ({\it Ergebnis: $339{,}6^0$, $\overline{AB}=2335{,}3 {\rm m}$  })
\item
Berechnen Sie $\overline{AQ}$ und die Koordinaten von $Q$.
 ({\it Ergebnis: $Q(1210|-1204)$}.)
\item
Berechnen Sie $\varepsilon=\angle BQC$ und $\delta=\angle CQA$ und
begr"unden Sie anschlie"send $\angle BAP = \varepsilon$ sowie 
$\angle PBA= \delta $.
\item
Geben Sie an, wie die Koordinaten von $P$ jetzt mit Hilfe der Winkel
$\varepsilon$, $\delta$ sowie der Koordinaten von $A$ und $B$
berechnet werden k"onnen. Keine Rechnung!

\end{enumerate}

}
\LSG{        
\begin{enumerate}
\item
Nach dem  Umfangswinkelsatz:$\angle QAB=\beta$, $\angle ABQ=\alpha$.
\item
$\overline{AB}=2335{,}3 {\rm m}$, Winkel $339{,}6^0$
\item
Mit dem Sinussatz $\overline{AQ}=1707 {\rm m}$, der Winkel von 
$[AQ$ gegen die x-Achse ist $339{,}6^0 - \beta = 315{,}2^0=-44{,}8^0$.
Dies ergibt die Koordinaten $Q(1210|-1204)$. 
\item
Mit den Polarwinkeln der Vektoren $\overrightarrow{QB}$
und $\overrightarrow{QC}$ oder mit dem Cosinussatz erh"alt man 
$\varepsilon=95{,}0^0$ und mit der Winkelsumme im Dreieck $ABC$
ergibt sich $\delta=18{,}5^0$.
Die letzte Behauptung folgt wieder aus dem Umfangswinkelsatz
\item
Man berechnet $\overline{AP}=806{,}5 {\rm m}$ mit dem Sinussatz, 
der Winkel von $[AP$ gegen die x-Achse ist $\varepsilon-20{,}45^0$.
daraus k"onnen die Koordinaten von $P$ bestimmt werden.

\end{enumerate}

Bemerkung: Dieses Verfahren, die Koordinaten eines Punkts durch
R"uckw"artseinschneiden zu bestimmen, hei"st ''Collinssche L"osung''.
Dazu werden in zwei Schritten, jeweils von der Basisstrecke $[AB]$ aus,
Punkte durch ''Vorw"artseinschneiden'' festgelegt (erst $Q$, dann $P$).
}
