\definecolor{lightestgray}{rgb}{0.96, 0.96, 0.96}
\ANG{
Armin behauptet, dass $\sqrt 2 = \D\frac {99}{70}$ gilt und somit $\sqrt 2$ eine rationale Zahl ist.
\begin{enumerate}
\item Widerlege Armins Behauptung durch einen indirekten Beweis ohne Verwendung des Taschenrechners.
\item Untersuche mithilfe des Taschenrechners, um wieviel Prozent der Bruch $\D\frac {99}{70}$ von $\sqrt 2$
abweicht.
\end{enumerate}
}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
    \item \texbf{Annahme:} $\sqrt 2 = \D\frac{99}{70}$. Dann gilt 
    $\left( \sqrt 2 \right)^2 = \left( \D\frac {99}{70} \right)^2$, d.h. 
    $2 = \D\frac {99 \cdot 99}{70 \cdot 70} = \D\frac {3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7}$. \newline
    Der Bruch $\D\frac {3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7}$
    lässt sich jedoch nicht kürzen, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Primfaktoren haben; also gilt
    $\D\frac {3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7} \ne 2$.
    \newline
    Somit ergibt sich ein Widerspruch zu der obigen Aussage 
    $2 = \D\frac {3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11}{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7}$. \newline
    Dieser Widerspruch beweist, dass die Annahme falsch ist; also gilt stattdessen $\sqrt 2 \ne \D\frac{99}{70}$
    \item 
    $\D\frac {99}{70}$ ist etwas größer als $\sqrt 2$: \newline \newline
    $\D\frac {\frac{99}{70}} {\sqrt 2} \approx 1,000051$. Der Bruch ist also etwa 0,0051 Prozent größer als die Wurzel.
\end{enumerate}

}
