\ANG{
%
%
%Das beiliegende Blatt 
Untenstehende Abbildung zeigt ausschnittsweise das dem Einheitskreis ($r=1$)
umbeschriebene regelm"a"sige n-Eck $A_1A_2A_3...A_n$.\\
Die {\bf halbe} Seitenl"ange dieses n-Ecks werde mit $t_n$ bezeichnet.\\
Die Strecke $[B_1B_2]$ ist die Seite des umbeschriebenen 2n-Ecks mit der
L"ange $2\,t_{2n}$.
\begin{enumerate}
\item  Geben Sie eine Formel f"ur die Streckenl"ange $\overline{MA_2}$ in
  Abh"angigkeit von $t_n$ an!
\item  Beweisen Sie:~~$\D t_{2n}=\frac{\sqrt{1+t_n^2}-1}{t_n}$\,.

  (Anleitung: Es ist $\overline{B_2T_2}=\overline{B_2T_3}=t_{2n}$.)
\item  Berechnen Sie mit der Formel aus b) den Wert $t_8$ und sch"atzen
  Sie damit die Kreiszahl $\pi$ nach oben ab!
\item  Begr"unden Sie kurz, dass die in b) hergeleitete Formel numerisch
  instabil ist und leiten Sie dann die numerisch stabile Formel
  
  \hspace{1cm}  $\D t_{2n}=\frac{t_n}{\sqrt{1+t_n^2}+1}$

  her!
\end{enumerate}

\raisebox{-10cm}{\begin{minipage}{13cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <5mm,5mm>
\setplotarea x from 0 to 25, y from 0 to 27
\plot 14 2.64  2.24 11.18  6.73 25  21.27 25 /
\plot 5.49 21.18  10.75 25 /
\plot 14 15  4.49 18.09 /
\plot 14 15  8.12 6.91 /
\plot 14 15  6.73 25 /
\plot 14 15 14 25 /
\circulararc 250 degrees from 22 21 center at 14 15
\circulararc 90 degrees from 9 23.73 center at 8.12 23.09
\unitlength1pt
\put {\circle*{3}} at 8.3 23.7
\put {M} at 14.8 14.3
\put {$A_n$} at 14 1.7
\put {$A_1$} at 1.2 11
\put {$T_1$} at 3.5 18
\put {$B_1$} at 4.5 21.2
\put {$A_2$} at 6.2 25.7
\put {$T_2$} at 8 22
\put {$B_2$} at 10.8 25.7
\put {$T_3$} at 14.1 25.7
\put {$A_3$} at 21.5 25.7
\put {1} at 14.5 20.5
\endpicture
\end{minipage}}
}
\LSG{ 
(a):~$\overline{MA_2}=\sqrt{1+t_n^2}$\\
(c):~$t_8=\sqrt{2}-1;~~\pi<8\sqrt{2}-8$\\
(d):~Der Nenner strebt bei laufender Verdoppelung von n gegen Null!
}
