\ANG{
%
%%\item
%
Einem Kreis vom Radius $r=1$ ist ein regelm"a"siges Sechseck einbeschrieben.
Dieses wird zu einem regelm"a"sigen Zw"olfeck verfeinert (linkes Bild).
Eines der 12 kongruenten Teildreiecke des Zw"olfecks ist $ABM$.
Die H"ohe des Dreiecks $ABM$ durch $M$ 
(rechtes Bild) wird mit $a_{12}$ bezeichnet, $s_{12}$ sei 
die halbe L"ange der Sehne $[AB]$. 

\begin{enumerate}
\item
Begr"unden Sie, dass $ABC$ rechtwinklig ist und dass $2\cdot a_{12}=\overline{BC}$ gilt.
\item
Begr"unden Sie mit dem Kathetensatz $a_{12}=\sqrt{{\D 1+ a_6 \over \D 2}}$
\item Die Fl"ache des Dreiecks $ABM$ kann auf zweierlei Weise berechnet werden:
Begr"unden Sie $2s_{12}a_{12}=s_6$.
Berechnen Sie mit Hilfe von $s_6=0.5$ und $a_6={\sqrt{3} \over 2}$ numerische
Werte f"ur $a_{12}$ und $s_{12}$.
\item
Durch zentrische Streckung wird aus dem einbeschriebenen  ein
umbeschriebenes 12-Eck (vgl. Ausschnitt, rechtes Bild). Es bezeichne
$t_{12}=\overline{B'F'}$ die halbe Seitenl"ange.
Begr"unden Sie die Gleichung ${\D t_{12}\over \D s_{12}}={\D 1 \over \D a_{12}}$ und berechnen
Sie
$t_{12}$.
\item
Berechnen Sie die Umf"ange $u_{12}$ bzw. $U_{12}$ des ein- bzw.  des umbeschriebenen 
regelm"a"sigen Zw"olfecks.

\end{enumerate}

\begin{minipage}[t]{5 cm}
% LINKES BILD
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <25mm,25mm> point at 0 1.05
\plotsymbolspacing0.5pt
\setplotarea x from -1.02 to 1.02, y from -1.2 to 1.05
\circulararc 360 degrees from 1 0 center at 0 0

\plot   1   0     0.5  0.866   -0.5  0.866  
       -1   0    -0.5 -0.866    0.5 -0.866    1      0 / % 6-Eck
\plot     0      0           0    1 /                    % Radius MA       
\plot    -0.5    0.866       0    0 /                    % Radius MB
\plot     0.5    0.866       0    0 /                    % Radius MD 
\plot     0      1          -0.5  0.866                  % 12- Eck
         -0.866  0.5        -1    0   
         -0.866 -0.5        -0.5 -0.866
          0     -1           0.5 -0.866
          0.866 -0.5         1    0
          0.866  0.5         0.5  0.866       0      1   /
\betweenarrows {$a_6$} from  0.1   0.0 to 0.1 0.866
\put {M} at  0.1 -0.1
\put {A} at  0.1  1.1
\put {B} at -0.6 0.966
%\put {D} at 0.6 0.966
\put {C} at  0  -1.1
\plot -0.5    1.1 -0.5   1.05  /
\plot -0.     1.1  0     1.05  /
\put {$s_6$} at -0.25 1.1 
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.35  1.1 to -0.5   1.1
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.15  1.1 to -0.0   1.1
\endpicture
% ENDE LINKES BILD
\end{minipage}
%\hskip 0.5 cm
% Mittleres BILD
\begin{minipage}[t]{5 cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <25mm,25mm> point at 0 1.05
\setplotarea x from -1.02 to 1.02, y from -1.2 to 1.05
\circulararc 360 degrees from 1 0 center at 0 0
\plot    0.5     0.866   -0.5    0.866               / % Sehne 6-Eck
\plot     0   0           0      1 /                   % Radius A
\plot    -0.5 0.866       0      0 /                   % Radius B
\plot    -0.5 0.866       0      1 /                   % Sehne 12-Eck
\plot    -0.5 0.866       0     -1    0    0  /        % Kathete
\plot     0   0          -0.25 -0.066 /               % Lot darauf
\plot     0   0          -0.25  0.933 /               % Lot z. Sehne 12-E.
% Beschriftung a_12 
\put {$a_{12}$} at -0.0 0.49
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.041   0.655   to   -0.115   0.966
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  0.041   0.366   to    0.125   0.033
\plot    0.062   0.016    0.187   0.050 /
% beschriftung s_12
\put {$2 s_{12}$} at -0.25 1.08
\plot   -0.55   1.053    -0.525   0.960 /
\plot   -0.025  1.094    -0.05    1.187 / 
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  -0.412   1.034   to    -0.537  1.0065 
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  -0.162   1.107   to    -0.0375 1.141
% ende s_12
\put {M} at  0.1 -0.1
\put {A} at  0.1  1.1
\put {B} at -0.6 0.75
\put {C} at  0  -1.1
% beschriftung s_6
%\plot -0.5    1.1 -0.5   1.05  /
%\plot -0.     1.1  0     1.05  /
%\put {$s_6$} at -0.25 1.1 
%\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.35  1.1 to -0.5   1.1
%\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.15  1.1 to -0.0   1.1
\endpicture
\end{minipage} 
%\hskip 0.5 cm
% RECHTES BILD
\begin{minipage}[t]{5 cm}
\beginpicture
\setcoordinatesystem units <50mm,50mm> point at 0 1.05
\setplotarea x from -0.55 to 0.2, y from 0.0 to 1.05
\inboundscheckon
\circulararc 130 degrees from 1 0 center at 0 0
%\plot    0.5 0.866      -0.5    0.866               / % Sehne 6-Eck
\plot     0   0           0      1.04 /                % Radius A'
\plot     0   0          -0.518  0.897 /               % Radius B'
\plot    -0.5 0.866       0      1 /                   % Sehne 12-Eck
\plot     0   1.04       -0.518  0.897 /               % Tangente 12-Eck
%\plot    -0.5 0.866       0     -1    0    0  /        % Kathete
\plot     0   0          -0.25 -0.066 /               % Lot darauf
\plot     0   0          -0.259 0.966 /               % Lot z. Sehne 12-E.
% Beschriftung a_12 
\put {$a_{12}$} at -0.0 0.49
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.041   0.655   to   -0.115   0.966
\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  0.041   0.366   to    0.125   0.033
\plot    0.062   0.016    0.187   0.050 /
% beschriftung s_12
%\put {$2 s_{12}$} at -0.25 1.08
%\plot   -0.55   1.053    -0.525   0.960 /
%\plot   -0.025  1.094    -0.05    1.187 / 
%\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  -0.412   1.034   to    -0.537  1.0065 
%\arrow <2mm> [0.375,0.75] from  -0.162   1.107   to    -0.0375 1.141
% ende s_12
\put {M} at   0.0  -0.05
\put {A} at   0.05  0.96
\put {B} at  -0.53  0.8
\put {A'} at  0.06  1.1
\put {B'} at -0.57  0.92
%\put {C} at   0    -1.1
\put {F} at  -0.28  0.87 
\put {F'} at -0.29  1.01
% beschriftung s_6
%\plot -0.5    1.1 -0.5   1.05  /
%\plot -0.     1.1  0     1.05  /
%\put {$s_6$} at -0.25 1.1 
%\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.35  1.1 to -0.5   1.1
%\arrow <2mm> [0.375,0.75] from -0.15  1.1 to -0.0   1.1
\endpicture
\end{minipage} 





}
\LSG{
Der geschilderte L"osungsweg f"uhrt iteriert zur $\pi$-Berechnung nach dem
Verfahren von Archimedes. Die Aufgabe ist sehr umfangreich und kann den Umfang
einer halben Schulaufgabe ausmachen.
$a_{12}=0.96593$, $s_{12}=0.25882$, $t_{12}=0{,}26795$, $U_{12}=6{,}4308$ und
$u_{12}=6{,}2117$. 
} 



