\ANG{
\EPSR{7cm}{10rr5261}{7cm}{}{
\PSFM{N}{N} \PSFM{r}{$r$} \PSFM{z}{$z$} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{fis}{$\varphi'$} \PSFM{y}{$\Delta y$} 
\PSFM{e}{$\varepsilon$} \PSFM{h}{$h$} \PSFM{Ah}{$A_{h}$} \PSFM{dA}{$\Delta A$}  
}{
{\bfseries Mantelfl"ache der Kugelscheibe}\\[2mm]
 Zur Berechnung der Kugeloberfl"ache stellen wir uns einen kugelf"ormigen
W"ustenplaneten mit Radius $r$ vor. Ein Gel"andefahrzeug (Sandbuggy) mit der
Spurbreite $x$ (Abstand der R"ader auf einer Achse) umrundet den Nordpol
auf einem Breitenkreis. 
Mit $\Delta y$ bezeichnen wir die Projektion der Spurbreite auf die
Planetenachse. 
\begin{enumerate}
\item Dr"ucke die von den Reifenspuren eingeschlossene Fl"ache
$\Delta A$ durch $\Delta y$ und $r$ aus. Die \GF{W"olbung} der Fl"ache kann
wegen $x\ll r$ praktisch vernachl"assigt werden!
\item Die Mantelfl"ache $A_{h}$ einer Kugelschicht der Dicke $h$ setzen wir
  aus $n$ d"unnen Scheiben der Dicke $\Delta y$ zusammen ($n\Delta y=h$).
\end{enumerate}
}
\begin{enumerate}
\item[] Beweise:\qquad$\boxed{\D A_{h}=2r\pi h}\qquad(1)$
\item[(c)] \EPSR{9cm}{10rr5262}{4cm}{}{ 
\PSFM{T}{Kugelhaube} \PSFM{h}{$h$} \PSFM{Ah}{$A_{h}$}  
}{
Leite aus (1) eine Formel f"ur die Mantelfl"ache der Kugelhaube (Kugelabschnitt)
und f"ur die Oberfl"ache der ganzen Kugel her.
}
\end{enumerate}
Ein Ballon steigt von einem Schiff mitten im Ozean auf, seine H"ohe
"uber dem Meeresspiegel ist $x$.
\begin{enumerate}
\item[(d)]  Dr"ucke die vom Ballonfahrer "uberblickte
  Meeresfl"ache $A$ als Funktion von $x$ aus ($R=6380\,\text{km}$ ist der
  Erdradius). Berechne auch das Verh"altnis
  $v(x)=\frac{A(x)}{A_{\text{max}}}$, wobei $A_{\text{max}}$ die maximal
  sichtbare Fl"ache ist (bei welcher H"ohe?).
\item[(e)] Berechne $A(x)$ und die Sichtweite $b(x)$
  auf der Erdoberfl"ache (Bogenl"ange) f"ur $x=10\,\text{m}$, 
  $x=100\,\text{m}$, $x=1000\,\text{m}$ und $x=10\,000\,\text{m}$.
\item[(f)] In welcher H"ohe $x_{1}$ "uberblickt man 50\% der Halbkugel? In
  welchen H"ohen $x_{2}$ bzw. $x_{3}$ betr"agt die Sichtweite $10\,\text{km}$
  bzw. $1000\,\text{km}$? 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
Wegen (siehe Abbildung)
$\varphi'=90^{\circ}-\varepsilon=\varphi$ folgt ("ahnliche Dreiecke)
\[\frac{z}{r}=\frac{\Delta y}{x}\QDQ z=\frac{r\Delta y}{x}\]
In sehr guter N"aherung gilt also (Radius $z$ nicht ganz konstant)
\[\Delta A\approx 2z\pi\cdot x=2\cdot\frac{r\Delta y}{x}\pi x=
  2r\pi\Delta y\qquad (2)\]
\item 
$\Delta A$ ist {\em nicht} von der Spurbreite $x$, sondern nur von der Dicke 
$\Delta y$ in Richtung der Kugelachse abh"angig!  
Verwendet man immer d"unnere und daf"ur
immer mehr Scheiben, wird aus dem $\approx$-Zeichen in (2) das
Gleichheitszeichen (Grenzwert):
\[A_{h}=n\cdot\Delta A=\underbrace{n\Delta y}_{h}2r\pi=2r\pi h\]
\item 
Die Kugelhaube ist nichts anderes als eine Kugelscheibe, deren 
\GF{oberer Radius} null ist, d.h. auch f"ur die Kugelhaube gilt
\[A_{h}=2r\pi h.\]
F"ur $h=2r$ erh"alt man die gesamte Oberfl"ache der Kugel
\[A=4\pi r^{2}\]
\item \EPSR{9cm}{10rr5263}{4cm}{}{
\PSFM{R}{$R$} \PSFM{z}{$z$} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{fi}{$\varphi$} \PSFM{Rx}{$R+x$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{h}{$h$} \PSFM{b}{$b$}  
}{
Kathetensatz: $\D R^{2}=y(R+x)\QDQ y=\frac{R^{2}}{R+x}$
\[h=R-y=R-\frac{R^{2}}{R+x}=\frac{Rx}{R+x}\]
\[A(x)=2R\pi h=2R^{2}\pi\cdot\frac{x}{R+x}\]
$A_{\max}=2R^{2}\pi$ ist die Fl"ache der Halbkugel, bei der H"ohe 
$x=x_{\text{max}}=\infty\quad\DANN$
\[v(x)=\frac{A(x)}{2R^{2}\pi}=\frac{x}{R+x}\]
}
\item[(e)] Berechnung der Sichtweite: 
$\D\cos\varphi=\frac{y}{R}=\frac{R}{R+x}\QDQ\varphi\QDQ b=R\varphi$\\[2mm]
Beispiel: $\D x=10\,\text{m}:\quad\cos\varphi=\frac{6380}{6380{,}01}=
  0{,}9999984326$\\[2mm]
$\QDQ\varphi=0{,}1014^{\circ}=1{,}77\cdot 10^{-3}\QDQ b=R\varphi=11{,}3\,\text{km}$
\begin{center}
\begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c}
   $x$ in m  & 10 & 100 & 1000 & 10\,000 \\\hline
$A(x)$ im $\mathrm{km^{2}}$ & 401 & $4{,}00\cdot 10^{3}$ & 
  $4{,}00\cdot 10^{4}$ & $4{,}00\cdot 10^{5}$ \rule[-2mm]{0mm}{6mm}\\
$b(x)$ in km & 11,3 & 35,7 & 113 & 357  
\end{tabular}
\end{center}
\item $\D v=\frac{x}{R+x}\QDQ
  x=x_{1}=\frac{vR}{1-v}=\frac{0{,}5\,R}{1-0{,}5}=R$\\[2mm]
$\D\cos\varphi=\frac{R}{R+x}\QDQ x=R\left(\frac{1}{\cos\varphi}-1\right)=
  R\left(\frac{1}{\cos\frac{b}{R}}-1\right)$\\[2mm]
$b=10\,\text{km}\QDQ x_{2}=6380\,\text{km}\cdot
  \left(\frac{1}{\cos\frac{1}{638}}-1\right)=7{,}84\,\text{m}$\\[2mm]
$b=1000\,\text{km}\QDQ x_{2}=6380\,\text{km}\cdot
  \left(\frac{1}{\cos\frac{100}{638}}-1\right)=79{,}18\,\text{km}$
\end{enumerate}
}
