\ANG{
\EPSR{6cm}{10rr527}{7cm}{}{
\PSFM{r}{$r$} \PSFM{al}{$\alpha$} \PSFM{fi}{$\varphi$} 
\PSFM{vo}{von oben} \PSFM{K}{KoK}
}{\parfillskip0pt
Aus einer Kugel mit Radius $r$ wird ein Keil (wie ein Orangenschnitz) mit dem
"Offnungswinkel $\alpha=20^{\circ}$ herausgeschnitten. Den Restk"orper nennen
wir KoK ({\em Kugel-ohne-Keil}). Unser KoK hat das gleiche Volumen wie ein
W"urfel mit der Kantenl"ange $a$. 
}\\[1mm]
\begin{enumerate}
\item Berechne das Verh"altnis 
\[v=\frac{A_{\text{W"urfel}}}{A_{\text{KoK}}}\] 
der Oberfl"achen der beiden
K"orper. Vereinfache das Ergebnis und setze erst {\em dann}
den Taschenrechner ein!
\item Um wieviel Prozent vergr"o"sert sich das Volumen der KoK, wenn sich ihr
  Radius um zehn Prozent vergr"o"sert? 
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
$\D V_{\text{KoK}}=\frac{340^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot\frac{4\pi}{3}r^{3}=
\frac{34\pi}{27}r^{3}=a^{3}\QDQ 
a=\frac{r}{3}\cdot\left(34\pi\right)^{\frac13}$\\[2mm]
$\D A_{\text{KoK}}=\frac{340^{\circ}}{360^{\circ}}\cdot 4\pi r^{2}+2\cdot\frac12
\pi r^{2}=\left(\frac{34}{9}+1\right)\pi r^{2}=\frac{43}{9}\pi r^{2}$\\[2mm]
$\D
A_{\text{W"urfel}}=6a^{2}=6\cdot\frac{r^{2}}{9}\cdot\left(34\pi\right)^{\frac23}=
\frac23 r^{2}\cdot\left(34\pi\right)^{\frac23}$\\[2mm]
$\D v=\frac{A_{\text{W"urfel}}}{A_{\text{KoK}}}=
\frac{\frac23 r^{2}\cdot\left(34\pi\right)^{\frac23}}
  {\frac{43}{9}\pi r^{2}}=
\frac{2\cdot 9\cdot\left(34\pi\right)^{\frac23}}{3\cdot 43\cdot\pi}=
%\frac{6\cdot\left(34\pi\right)^{\frac23}}{43\cdot\pi}=
\frac{6\cdot 34^{\frac23}}{43\cdot\pi^{\frac13}}=0{,}99989\approx 1{,}000$
\item $\D V_{\text{KoK}}'=\frac{34\pi}{27}(1{,}1r)^{3}=
1{,}1^{3}V_{\text{KoK}}=1{,}331V_{\text{KoK}}\QDQ
\text{um }33{,}1\%$
\end{enumerate}
}
