\ANG{Die Tagesl"ange (Zeitdauer zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang) an einem festen Ort ver"andert sich im Lauf eines Jahres. 
Die Graphik zeigt diese Ver"anderung f"ur M"unchen. Die Tagesl"ange $T(x)$ in Stunden am $x$-ten Tag des Jahres in M"unchen kann in guter 
N"aherung durch eine trigonometrische Funktion der Form $T(x)=a\cdot \cos (2\pi\cdot \frac{x-172}{365})+c$ mit $a > 0$ und $c > 0$ modelliert werden.

\includegraphics[width=8cm]{11cm227}

\begin{enumerate}
\item Weisen Sie durch Rechnung nach, dass die Funktion $T$ die Periode 365 hat und dass unabh"angig von $a$ und $c$ bei $x = 172$ ein Maximum vorliegt. 
\item Entnehmen Sie dem Graphen N"aherungswerte f"ur die Parameter $a$ und $c$. 
\item Geben Sie einen Grund daf"ur an, dass eine entsprechende Modellierung der Tagesl"ange am Nordpol nicht mit einer Kosinusfunktion m"oglich ist.
\end{enumerate}

\begin{tiny}
Quelle: Handreichung f"ur den Mathematikunterricht am Gymnasium, Das Abitur im Fach Mathematik am achtj"ahrigen Gymnasium,
Staatsinstitut f"ur Schulqualit"at und Bildungsforschung Abteilung Gymnasium, August 2008, www.isb.bayern.de
\end{tiny}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item $T(x+k\cdot 365)=a\cdot \cos (2\pi\cdot \frac{x+k\cdot 365-172}{365})+c=a\cdot \cos (2\pi\cdot \frac{x-172}{365}+2k\cdot \pi)+c=T(x)$;
Maximum wenn $\cos (2\pi\cdot \frac{x-172}{365})=1$, dies gilt f"ur $x=172$ 
\item $a=2$ und $c=12$. 
\item Polarnacht/Polarsommer
\end{enumerate}
}