\ANG{
% 10/Algebra/ 
%%\item
Auf ein Konto wird an jedem Monatsersten, beginnend mit dem 1.1.2002, 
der konstante Betrag $m$ einbezahlt, der j"ahrliche Zinssatz sei $z$. 
Der f"allige Zins wird am 31.12. des jeweiligen Jahres gutgeschrieben. 
Die einzelnen Raten werden dabei im Verh"altnis zu ihrer tats"achlich auf 
dem Konto ruhenden Zeit ber"ucksichtigt, der Zins f"ur die Februar-Rate 
ist z.B. $Z_{\rm Februar}=\frac{11}{12}\cdot z\cdot m$. Mit $a_n$ 
bezeichnen wir den Kontostand nach $n$ Jahren, d.h. am 31.12. im 
Jahre $2002+n-1$.\\
Eine andere Bank schreibt den Zins an jedem Monatsletzten mit dem 
monatlichen Zinssatz $z_m=\frac{z^*}{12}$ gut, der Kontostand nach $n$ 
Jahren sei hier $b_n$.\\
Herr Traunicht spart seine zw"olf Monatsraten im Sparstrumpf an und 
tr"agt sie erst am 31.12 zur Bank. Sein Kontostand am 31.12. im Jahre 
$2002+n-1$ sei $c_n$ (j"ahrlicher Zinssatz $z$).
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie zuerst $a_1$ und dann $a_n$! Verwenden Sie die 
Abk"urzung $k=1+z$!
\item Berechnen Sie $b_n$ unter Verwendung der Abk"urzung $q=1+z_m$!
\item Berechnen Sie $c_n$!
\item Berechnen Sie $a_{10}$, $b_{10}$ und $c_{10}$ f"ur $m=1000\,$\EUR{} 
und $z=z^*=6\%$!
\item F"ur welches $z^*$ w"are $b_{10}=a_{10}$ ($z=6\%$)? Numerische 
L"osung durch Probieren mit dem Taschenrechner!
\end{enumerate}
}
\LSG{ 
\begin{enumerate}
\item $\D a_1=12\,m\,\left(1+\frac{13}{24}\,z\right)$ , 
$\D a_n=a_1\,\sum_{i=0}^{n-1}k^i=
12\,m\,\left(1+\frac{13}{24}\,z\right)\,\frac{k^n-1}{k-1}$
\item $\D b_n=m\,\sum_{i=1}^{12\,n}q^i=m\,q\,\frac{q^{12\,n}-1}{q-1}$
\item $\D c_n=12\,m\,\sum_{i=0}^{n-1}k^i=12\,m\,\frac{k^n-1}{k-1}$
\item $a_{10}=163\,310{,}05\,$\EUR{}, $b_{10}=164\,698{,}74\,$\EUR, 
$c_{10}=158\,169{,}54\,$\EUR{}
\item $\D q\,\frac{q^{120}-1}{q-1}=163{,}31005\,;\,
q=1+\frac{z^*}{12}=1{,}0048718\,;\, z^*=5{,}846\%$
\end{enumerate}
}
