\ANG{
% 10/Algebra/ 
%%\item
\parbox[t]{7.2cm}{
Den maximalen "Uberhang $x_n$ von $n+1$ lose "ubereinander gestapelten 
gleichen Quadern (L"ange $a$, Masse $m$) erh"alt man durch folgende 
"Uberlegung: Der gemeinsame Schwerpunkt der $n$ oberen Quader liegt genau 
"uber der rechten Kante des $(n+1)$-ten Quaders. Sind $s_1$ und $s_2$ die 
$x$-Koordinaten der Schwerpunkte von zwei K"orpern der Massen $m_1$ und 
$m_2$, dann ist die $x$-Koordinate des gemeinsamen Schwerpunkts der beiden 
K"orper
}\hfill
\raisebox{-54mm}{\parbox[t]{6.8cm}{
\begin{scriptsize}
\unitlength 0.8mm
%\special{em:linewidth 0.4pt}
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(85.00,70.00)
\put(1.00,10){\framebox(40.00,10.00)[cc]{}}
\put(4.00,20){\framebox(40.00,10.00)[cc]{}}
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\put(59.00,63.67){\makebox(0,0)[cc]{$a$}}
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\put(79.00,14.67){\vector(-1,0){38.00}}
\put(69.00,41.33){\makebox(0,0)[cc]{$x_1$}}
\put(63.67,30.67){\makebox(0,0)[cc]{$x_2$}}
\put(61.33,21.00){\makebox(0,0)[cc]{$x_3$}}
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\put(54.00,56.00){\makebox(0,0)[cc]{$S_1$}}
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\put(25.33,36.67){\makebox(0,0)[cc]{$S_3$}}
\put(79,4){\line(0,1){43.00}}
\put(81.00,5.33){\vector(-1,0){61.67}}
\put(15.00,3.33){\makebox(0,0)[cc]{$x$}}
\put(0.00,0.00){\framebox(85.00,70.00)[cc]{}}
\end{picture}
\end{scriptsize}
}}\\
\[s=\frac{m_1\,s_1+m_2\,s_2}{m_1+m_2}\]
\begin{enumerate}
\item Beweisen Sie:\quad $\D x_n=\frac{a}{2}\cdot h_n$ \quad
mit\quad $\D h_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{1}{\nu}$\\[2mm]
$h_n$ hei"st {\bf harmonische Reihe}.
\item Die harmonische Reihe kann f"ur $n=2^r$ auf folgende Art geschrieben werden:
\[h_n=\sum_{\nu=1}^{n}\frac{1}{\nu}=1+\underbrace{\frac{1}{2}}_{\D c_1}
+\underbrace{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)}_{\D c_2}
+\underbrace{\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)
}_{\D c_3}+\,.....\,=1+\sum_{k=1}^{r}c_k
\]
mit den Teilsummen\quad 
$\D c_k=\sum_{\nu=2^{k-1}+1}^{2^k}\frac{1}{\nu}$. Beweisen Sie die 
Ungleichung $\D c_k\ge \frac{1}{2}$\\[2mm]
und leiten Sie daraus eine Ungleichung f"ur $h_n$ ab! Welche Konsequenz 
hat diese Ungleichung f"ur den maximalen "Uberhang $x_n$, wenn $n$ 
immer gr"o"ser gew"ahlt wird? F"ur welches $n$ zum Beispiel ist $x_n$ 
{\bf sicher} gr"o"ser als $50\,a$?
\item Berechnen Sie $x_{10}$! Ab welchem $n$ ist $x_n>2\,a$?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D x_{n+1}=\frac{n\cdot m\cdot x_n+m\cdot\left(x_n+\frac{a}{2}\right)}
{(n+1)\,m}=x_n+\frac{a}{2\,(n+1)}$ und $\D x_1=\frac{a}{2}$:\\[2mm]
$\D x_2=x_1+\frac{a}{4}=\frac{a}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)\,,\,
x_3=x_2+\frac{a}{6}=\frac{a}{2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)
\,\mbox{u.s.w.}$
\item $\D c_k\ge \frac{2^k}{2}\cdot \frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}$ , 
$\D x_{2^r}\ge \frac{a}{2}\left(1+\frac{r}{2}\right)\to\infty$ wenn 
$\D n=2^r\to\infty$\\[2mm]
$\D x_{2^r}\ge \frac{a}{2}\left(1+\frac{r}{2}\right)> 50\,a\,
\Longrightarrow\,r>198\,\Longrightarrow\,n>2^{198}=4{,}017\cdot 10^{59}$
\item $x_{10}=1{,}464\cdot a$ , $x_{30}=1{,}997\cdot a$ , $x_{31}=2{,}014\cdot a$ ; 
ab $n=31$
\end{enumerate}
}
