\ANG{
% 10/Algebra/ 
%%\item
Ein Gummiball f"allt zur Zeit $\tau=0$ aus der H"ohe $h_1$ auf den Boden und 
erreicht bei jedem Sprung $81\%$ seiner vorhergehenden H"ohe. Die Zeitdauer 
f"ur den Fall aus der H"ohe $h_{\nu}$ bzw. f"ur den Sprung vom Boden bis 
zur H"ohe $h_{\nu}$ ist $t_{\nu}=\sqrt{\frac{2\,h_{\nu}}{g}}$ mit 
$g=9{,}81\,\frac{\rm m}{\rm s^2}$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die Folgen $h_{\nu}$ bzw. $t_{\nu}$ geometrisch 
sind und geben Sie jeweils den Quotienten an!
\item Der Zeitpunkt des $n$-ten Aufpralls auf dem Boden sei $\tau_{n}$, 
der gesamte vom Ball zur"uckgelegte Weg bis zum $n$-ten Aufprall sei $s_n$. 
Dr"ucken Sie $s_n$ durch $h_1$ und $\tau_n$ durch $t_1$ aus! Welche 
Werte k"onnen von $s_n$ bzw. $\tau_n$ nie "uberschritten werden, auch wenn 
$n$ noch so gro"s wird?
\item Berechnen Sie $s_n$ und $\tau_n$ f"ur $h_1=1\,$m und 
$n\in\{10;20;100;1000\}$! An welche Grenzwerte n"ahern sich $h_n$ und 
$\tau_n$ an, wenn $n$ immer gr"o"ser wird?
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D h_{\nu+1}=0{,}81\,h_{\nu}$ ; $\D h_{\nu}=h_1\cdot 0{,}81^{\nu-1}$ , 
$\D t_{\nu}=\sqrt{\frac{2}{g}}\cdot\sqrt{h_{\nu}}=
t_1\cdot 0{,}9^{\nu-1}$
\item $\D s_n=2\cdot\sum_{\nu=1}^{n}h_{\nu}-h_1=
h_1\cdot\left(2\cdot\frac{1-0{,}81^n}{0{,}19}-1\right)<\frac{181}{19}\,h_1$\\[2mm]
$\D \tau_n=2\cdot\sum_{\nu=1}^{n}t_{\nu}-t_1=
t_1\cdot\left[20\,(1-0{,}9^n)-1\right]<19\,t_1$
\item \[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline
n & 10 & 20 & 100 & 1000 & \infty \\\hline
s_n\mbox{ \rm in m} & 8{,}247 & 9{,}371 & 9{,}526 & 9{,}526 & 9{,}526 \\\hline
\tau_n\mbox{ \rm in s} & 5{,}430 & 7{,}481 & 8{,}5787 & 8{,}5789 & 8{,}5789 \\\hline
\end{array}\]
\end{enumerate}
}
